圆综合尺规作图母题精讲|南京中考真题溯源
- 2026-06-24 18:11:05
圆综合尺规作图母题精讲|南京中考真题溯源
二、应用1：射影定理作比例中项线段
配套基础变式：已知线段a、b，作线段c满足 c²=ab
这是切线作图的基础模型，也是所有几何等积式作图的通用模板。
利用直径所对圆周角为直角，构造Rt△ACD，垂线BD即为所求比例中项，考场遇到乘积式作图直接套用这套构图。
三、应用2：两类直线找点经典压轴变式
变式1：直线l上找点P，使∠APB=30°（定角作图）
核心原理：同弧所对圆周角相等。
作图步骤：
1. 以AB为边作等边△ABO；
2. 以O为圆心，OA为半径作圆，与直线l交点即为满足30°角的点P。
只要掌握“定角→构造外接圆”思路，45°、60°、15°定角作图全部通用。
中考填空、作图高频难点，很多学生分不清原理：当△ABP外接圆与直线l相切时，张角∠APB达到最大值。
结合射影定理 DP²=DA·DB 构造等长线段，精准找到切点P，文章配套手写推导图完整展示辅助线构造流程。
四、学习总结（核心干货提炼）
1. 圆切线作图两套思路：①直径直角标准作法；②射影定理等积式作法；
2. 乘积式线段作图，统一用“直径+垂线”构造比例中项；
3. 直线定角找点：构造定角外接圆；
4. 直线最大张角找点：作与直线相切的△ABP外接圆。
所有题型共用相似、射影定理底层逻辑，学会推导不用背诵海量作图步骤。 你家孩子做尺规作图，最容易丢分在哪一步？评论区留言交流！初三几何重在理解底层逻辑，死记步骤应对不了多变式，一道母题吃透一类题型，复习效率翻倍。 附:2021南京中考尺规作图题6种做法 
2020-2025南京中考数学试卷真题+解析
初三的家长和同学们注意！圆综合尺规作图是南京中考固定必考大题，很多孩子只会死记步骤，换一道变式就无从下手。
今天我们拿2021南京中考第25题（过圆外一点作圆切线） 作为母题，从底层相似、射影定理拆解逻辑，顺带梳理两类考场高频变式：直线上作定角、直线上作最大张角，吃透这一篇，圆类尺规作图大题直接稳拿满分。
一、原题溯源：2021南京中考8分大题
题干：已知P是⊙O外一点，用两种不同方法过P作⊙O切线，尺规作图保留痕迹，书写文字说明。
很多同学只会记“连OP作中点画圆找切点”的标准作法，第二种作法完全没思路，本质是不理解切线背后的相似与射影定理。
我们从几何关系推导：设切点Q，易证△POQ为直角三角形，再结合割线PAB，可得相似结论 PQ²=PA·PB，这就是射影定理的核心模型，也是第二种作图方法的底层逻辑。
作图思路拆解：
1. 连接PO，交圆于A、B两点；
2. 以PB为直径作圆，构造直角三角形得到线段PM满足 PM²=PA·PB；
3. 以P为圆心、PM为半径画弧，交⊙O于N，PN即为所求切线。
两种作法一套底层逻辑，不用分开死记。
配套基础变式：已知线段a、b，作线段c满足 c²=ab
这是切线作图的基础模型，也是所有几何等积式作图的通用模板。
利用直径所对圆周角为直角，构造Rt△ACD，垂线BD即为所求比例中项，考场遇到乘积式作图直接套用这套构图。
变式1：直线l上找点P，使∠APB=30°（定角作图）
核心原理：同弧所对圆周角相等。
作图步骤：
1. 以AB为边作等边△ABO；
2. 以O为圆心，OA为半径作圆，与直线l交点即为满足30°角的点P。
只要掌握“定角→构造外接圆”思路，45°、60°、15°定角作图全部通用。
中考填空、作图高频难点，很多学生分不清原理：当△ABP外接圆与直线l相切时，张角∠APB达到最大值。
结合射影定理 DP²=DA·DB 构造等长线段，精准找到切点P，文章配套手写推导图完整展示辅助线构造流程。
1. 圆切线作图两套思路：①直径直角标准作法；②射影定理等积式作法；
2. 乘积式线段作图，统一用“直径+垂线”构造比例中项；
3. 直线定角找点：构造定角外接圆；
4. 直线最大张角找点：作与直线相切的△ABP外接圆。
所有题型共用相似、射影定理底层逻辑，学会推导不用背诵海量作图步骤。
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