调和平行中点定理:2025南京七校十月联考第十九题

调和平行中点定理:2025南京七校十月联考第十九题

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今天分享调和平行中点定理以及2025年南京七校十月联考的第十九题。

具体内容如下。

【定理内容】

【定理证明】

【试题呈现】

【思路分析】

在(1)中，直接根据题意得到关于a、b、c的关系式，解方程即可。

在(2)中，易知直线AB过定点(1,0)。

在①中，可分别设直线AB、NA、NB的方程，联立直线AB、NA，解得点A的坐标，然后将其代入椭圆方程化简得到关于t₁的一元二次方程。同理可得关于t₂的一元二次方程。进而得到以t₁、t₂为根的一元二次方程，进而求得t₁t₂为定值，然后结合椭圆的第三定义即可证明直线AM与直线BN的斜率之比为定值。

在②中，可分别设出直线DE、AD、AE的方程，联立直线AD、DE，解得点D的坐标，然后将其代入椭圆方程化简得到关于k₁的一元二次方程。同理可得关于k₂的一元二次方程。进而得到以k₁、k₂为根的一元二次方程，进而求得k₁k₂为定值。若A、E、F三点共线，则2x_G=x_D+x_F、2y_G=y_D+y_F。设直线AE与直线DG交于点H，表示出直线DG的方程，将其与直线AB联立解得点G的坐标，联立直线AE、DG解得点H的坐标，进一步可验证x_D+x_H=2x_G、y_D+y_H=2y_G，所以H、F两点重合，故A、E、F三点共线得证。

【试题解析】

以下是常规联立韦达方法。

【背景分析】

易知：直线AE、AD、AB、AP构成调和线束，由题意可知：DG=GF，由调和平行中点定理可得：A、E、F三点共线。

本题还有其他方法，比如三角代换法、定比点差法、向量同构、齐次构造、点差法解点等，这里就不再赘述了，感兴趣的读者可自行尝试。

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