三次函数悄悄“闯”入初中卷?南京命题老师的偏爱藏不住了!

先看这道改编自2024年武汉中考的题目：

函数 y = x^3 - 3x^2 + 3x - 1 的图像关于点 (1, 0) 中心对称，点 A_0(0, y_0)、A_1(0.1, y_1)…A_{19}(1.9, y_{19}) 都在图像上，求这20个点的函数值之和。

解题的关键就在于中心对称：

• 图像关于 (1, 0) 对称，意味着若两点横坐标之和为 2，则它们的函数值之和为 0。

• 比如 y_1 + y_{19} = 0，y_2 + y_{18} = 0…一直到 y_9 + y_{11} = 0，中间的 y_{10} 对应点 (1, 0)，函数值为 0。

• 最后只剩下 A_0(0, -1) 的 y_0 = -1，所以总和就是 -1。

这道题没有复杂计算，而是考察对「中心对称」这一图像性质的理解，完美契合了初中探究题的命题思路。

在南京，三次函数的身影已经不止一次出现在试卷里：

1. 2023年鼓楼区中考一模T27：解答压轴题，以材料题形式全面考察三次函数的图像与性质，是南京首次大规模考到这一知识点。

2. 2024年鼓楼区九上期中T26：解答题，转向一元三次方程的根与系数关系，考察代数推导能力。

3. 2025年树人九上12月月考T27：再次回归图像性质，作为压轴题出现。

不难猜测，有一位鼓楼区的命题老师对三次函数格外偏爱，不断用不同角度考察学生对陌生知识的探究能力。这类题目看似超纲，实则是在考察「阅读理解+性质迁移+逻辑推理」的核心素养，完全符合新课标对探究性学习的要求。

给初中生的备考建议

面对三次函数这类「超纲题」，不用慌，抓住这几点就能从容应对：

• 抓核心性质：重点关注中心对称、单调性、极值点等图像特征，这是命题的高频考点。

• 用材料解题：这类题通常会给出材料提示，仔细阅读题干，把高中知识「翻译」成初中能理解的语言。

• 练对称求和：像例题里的中心对称求和、轴对称求和，都是初中阶段能掌握的技巧，多练几道就能找到规律。