这是近期刚出炉的一份月考试卷，题目还是不错的，与大家一起分享：
26.《详解九章算法》一书中给出的杨辉三角是我国数学史上的一个伟大成就，此图揭示了 （ 为正整数）展开式的项数及各项系数的规律。
请利用杨辉三角解决以下问题：
(1) 依次类推，写出 的展开式：
________________________________________________。
(2) 的展开式中一共有 ______ 项，各项系数之和为 ______。
(3) 的展开式中， 的一次项系数为 ______。
(4) 的展开式中， 项的系数为 ______。
(5) 已知
则 ______。
解答前说明
春季提优课上我们已经讲过根据杨辉三角找规律这一类问题。不过本题和当时用的「原题」并不相同，整体要难一些。
难主要难在两点：
- 倒数第二问：不能一上来就套杨辉三角，要先把式子配方成完全平方，再把它看成「两项的 次方」，规律才好用得上。
- 最后一问：形式看起来乱，要先换元（把 看成一个整体），式子会清爽很多，系数也好找。
考试里几乎不可能碰到和作业一模一样的原题，能带走的永远是思路。就这道题而言，重点可以想成三件事：
- 完全平方公式：会不会灵活运用（该配方时能配出来）。
先记住两条规律
- 系数：杨辉三角与 对应的那一行，从左到右就是 展开各项的系数。
- 系数和：令 ，左边是 ，右边是系数全加在一起，故系数和 。
以下为具体解答：
第（1）问解答：
思路：在题目给的第 4 行 下面再写一行——两边写 ，中间每个数等于肩上两数之和。
得到 ，依次对应 到 各项。
第（2）问解答：
思路： 展开共有 项；系数和用上面的规律二，令 即可。
结果： 项数 ；系数和 。
第（3）问解答：
思路：先写成 ，对照 。杨辉三角第 4 行是 ，对应
要找 的一次项，就要 与 配在一起，对应上式里的 那一项，系数是 。
答案：
第（4）问解答：
思路：括号里可以先配方——你会发现它是完全平方：
接下来就按 去看：把 当 ， 当 ，用杨辉三角第 8 行：
要使最后得到 ，对应到「 出现 次」的那一类（可自己验一下： 的指数是 ），系数取第 8 行从左数第 4 个数 ，再乘 ：
答案：
第（5）问解答：
思路：把 看成一个整体，不妨设 ，则 ，于是 ，，左边变为 。我们要的是 的系数。
拆开看：
- 前半： 里 的系数是第 8 行第 2 个数 ，乘上外面的 得到 ，贡献 。
- 后半： 里 的系数是第 8 行第 1 个数 ，再乘 ，贡献 。
故 。
答案：
答案一览
(1)
(2) 项数 ；系数和
(3)
(4)
(5)
