南京师范大学 2026 年数学分析试卷 · 详细解答

一. 计算题（每题 6 分, 共 30 分）

1. 求极限

解：记原式为. 第项（）为:

注意, 提取:

令, 则:

当时, 对每个固定的, 有, 因此. 于是趋向于 Riemann 积分:

2. 求积分

解：

第一步: 区间再现.令, 则. 注意,, 分母不变:

将原式与此式相加:

第二步: 化简分母.因为:

所以:

第三步: 换元.令,. 当时, 当时:

第四步: 计算.利用, 其中:

有理化:.

3. 求重积分

解：

第一步: 划分区域.曲线将矩形分成两部分:

, 此时.

, 此时.

第二步: 计算.先对积分:

第三步: 计算.对交换积分次序. 注意即. 当时,恒成立, 故在部分为空. 当时,从到:

第四步: 计算.分部积分, 令,:

再对分部积分:

所以, 故.

最终结果:

4. 求体积

求由,,,,,围成区域的体积.

解：

第一步: 确定积分区域.由抛物线,和直线,在第一象限围成. 体积为:

第二步: 变量替换.令（对应抛物线族）,（对应直线族）. 则边界变为,,,, 积分区域变为矩形.

由反解:,.

第三步: 计算 Jacobi 行列式.

第四步: 计算积分.将代入:

分离变量:

5. 二阶泰勒公式

设, 求在处的二阶泰勒公式.

解：

记,, 则.

在处:,,.

一阶偏导:

. 其中,.

.

. 其中,.

.

二阶偏导:

. 其中,.

在处:,,,.

.

. 其中,.

在处:.

. 其中,.

在处:..

写出泰勒公式:

其中.

二. （15 分）幂级数收敛域

设在上恒正连续,, 求幂级数的收敛域.

解：

第一步: 求收敛半径.考虑比值:

由于连续, 当很大时,在附近的贡献占主导. 对任意:

利用（Laplace 方法的思想）, 可得.

故收敛半径.

第二步: 检验端点.

当时:, 所以. 由发散, 正项级数发散.

当时: 通项, 其中单调递减趋于. 由 Leibniz 判别法, 交错级数收敛.

结论: 收敛域为.

三. （15 分）连续性与可微性

设

判断在原点处是否连续, 可微. 方向导数是否存在.

解：

（一）连续性.当时,（时）. 利用:

当时,. 所以.在原点连续.

（二）偏导数.

（三）可微性.若可微, 则:

取路径:

极限不为, 故在原点不可微.

（四）方向导数.沿方向:

当时:

当时:, 方向导数.

结论:在原点连续, 各方向导数存在且等于, 但不可微（方向导数不是的线性形式, 因为不能写成）.

四. （15 分）曲线积分

求, 其中, 取逆时针方向.

解：

第一步: 判断奇点.令,. 在处无定义.

原点到中心的距离为（半径）, 故原点在内部.

第二步: 验证恰当性.在处:

二者相等, 故被积表达式在去掉原点后恰当.

第三步: 挖椭圆.取:,,（逆时针）. 此时:

由 Green 公式,.

第四步: 计算.,:

五. （15 分）曲面积分

其中为在平面上方的部分, 取上侧.

解：

第一步:令. 经典结论: 在处.

第二步: 判断原点位置.将代入方程右端:. 说明原点的正上方在上, 原点在与底面围成的区域内部.

第三步: 挖球法.用与底面（上, 取下侧）封闭. 取小球面（外侧）在内部. 由 Gauss 公式:

第四步: 计算球面积分.在上,, 外法向:

第五步: 底面贡献.在上, 外法向朝下. 被积函数中, 故. 即.

所以.

六. （15 分）一致连续的证明

证明:在有界区间上一致连续的充要条件是对任意中的柯西列, 有也是柯西列.

证：

必要性（）.设在上一致连续.

,,:.

设是中的柯西列. 对上述,, 当时.

由一致连续性,. 故是柯西列.

充分性（）.反证法. 假设在上不一致连续.

则,,:

由有界,有界. 由 Bolzano-Weierstrass 定理, 取收敛子列.

由, 得.

构造交错序列:,.

则, 故是柯西列.

但, 所以不是柯西列.

与条件矛盾. 故在上一致连续.

七. （15 分）隐函数

已知点满足, 添加充分条件确定隐函数, 并判断有无极值.

解：

第一步: 隐函数存在条件.令, 则. 需, 即. 这就是所添加的充分条件.

第二步: 求一阶偏导.

第三步: 求驻点.令. 由, 必须且.

代入方程:, 即.

令.,.,.

所以在处为零, 先递减后递增, 还有另一零点.

驻点为和.

第四步: 判定极值.在处:,,.

对求偏导:

,（由对称性和具体计算）.

: 对求. 在: 分子对的导数为, 分母为, 还需减去分子乘分母导数除以分母平方... 直接计算得.

Hessian 矩阵,.

是鞍点. 类似分析也是鞍点.该隐函数没有极值.

八. （15 分）中值定理应用

设在上二阶可导,,,.

(1)证明:, 使得.

证：用带 Lagrange 余项的 Taylor 公式在处展开:

:, 故.

:, 故.

由二阶可导,在上连续, 且.

由介值定理,使得, 从而.

(2)证明:, 使得.

证：反证法. 假设,.

由和, 在假设下.

又. 由 Newton-Leibniz 公式:

在假设下:

等号成立需（即恒成立, 且）.

这要求: 当时, 故; 当时, 故.

但这意味着,, 即在处不连续.

然而在上二阶可导,作为导函数满足 Darboux（介值）性质.不可能从跳变到而不取中间值, 这与且,矛盾（在处应取到之间的所有值, 但等号条件要求在两侧恒为, 这不连续）.

故假设不成立,使得.

九. （15 分）含参变量积分

设.

(1)求的收敛域.

解：利用.

（瑕积分）:, 被积函数.收敛当且仅当, 即.

（无穷积分）:

当时:, 绝对收敛.

当时:单调递减趋于, 且有界. 由 Dirichlet 判别法, 条件收敛.

当时:不趋于, 发散.

结论: 收敛域为.

(2)判断一致收敛性.

解：在任意上一致收敛. 但在整个上不一致收敛: 当时无穷远端收敛速度退化, 当时附近的瑕积分退化.

(3)求.

解：

利用恒等式和分部积分, 可以将型积分逐步化为型.

具体地, 对分部积分（令,）:

利用... 不对, 用积化和差:... 更直接地:

. 而.

所以:

再对再做一次分部积分（或直接利用上述结果）. 由 Frullani 积分:

但这给出的是的积分. 对于需要再做一次. 最终利用标准结果:

这可通过 Parseval 定理或查阅 Gradshteyn-Ryzhik 积分表 (3.828) 得到.

以上解答仅供参考, 部分计算建议自行补全验证.