26考前百题 074 | 入选26年南京教研卷的经典零点个数高考原题

该篇素材选自近期的南京市教研室每年考前都会出考前综合题第7题。该题是非常经典的零点个数问题，原题出自2015全国卷I卷T21，可以看出南京市教研室对此题目的认可！

今天将此题收录到考前百题中（→_→《26考前百题系列文章合集，更新中！》）

• 一、15全国卷I卷经典零点个数问题
• 二、附南京市教研室26届考前综合题
• 1、原卷
• 2、解析

一、15全国卷I卷经典零点个数问题

【2015全国卷I卷T21】（关注：Hi数学派）已知函数 ， .（1） 当  为何值时， 轴为曲线  的切线；（2） 用  表示 ， 中的最小值，设函数 （），讨论  零点的个数.

解析：

(1) 设  轴与曲线  的切点为 ，则在该点处有

由第二式得 ，代入第一式

从而

此时

满足  且 ，故  符合题意。

(2) 先分析  的符号

• ；
• ；
• 。

因为 ，结合上述符号可得  的等价条件：

• 当  时，，故 ；
• 当  时，，故 ；
• 当  时，，此时 ，不可能为零。

因此， 的零点由两部分组成： 在  内的实根，以及 （当  时计入；若 ， 已属于前者的根，不重复计数）。

下面研究  在  上的性质。

情况 1，

此时  对  成立， 在  上严格递增。由  知  恒成立，故  在  内无根。又 ，因此  仅有一个零点 。

情况 2，

令 ，解得 

 在  上单调递减，在  上单调递增。极小值为

• ① 当  时，从而 ，故

  极小值恒正，又 ，所以  恒成立。此时 

   仅有一个零点 。

• ② 当  时 由 （1） 知 ，在  上  仅有一根 。

  又 ，故  有两个零点： 和 。

• ③ 当  时

  此时 ，且 ，即极小值为负。

  ，结合  在  上严格递减，可知  在  内有且仅有一个根。

  为进一步确定  上的根的情况，考察 

  若 ，则 。此时在  上  递增且以负值开始，在  上  恒成立，无零点。故  在  内仅有一个根（位于  内）。由于 ， 不是  的零点，因此  只有一个零点。

  若 ，则 。此时  在  内有一个根，且  也是根，共两个根。因  满足 ， 是  的零点，故  有两个零点。

  若 ，则 。又  且  在  上递增，故在  内有且仅有一个根。加上  内的一个根， 在  内共有两个根。此时 ，所以  也是  的零点。故  共有三个零点。

综合以上所有情形

• 当  或  时， 有 1 个零点；
• 当  或  时， 有 2 个零点；
• 当  时， 有 3 个零点。

二、附南京市教研室26届考前综合题

1、原卷

2、解析

官方参考标准答案暂时还未公布，公布后会同步到文末关键词链接中