参考解答
一、填空题
1、求微分方程 的通解这个是一个标准的非齐次常系数线性微分方程*，求解口诀是“它的通解等于齐次方程的通解加上非齐次方程的特解”。本题属于基础题，送分的，计算量很小 .
先求对应齐次方程的通解齐次方程为 。 特征方程为 ，解得特征根 。因此，齐次方程的通解为 。
再求非齐次方程的特解自由项为 ，其中 不是特征根。设特解为 ，代入原方程：代入得：。特解为 。
答案：
2、求微分方程： 的通解
分析：这是典型的伯努利方程（，其中 ）。
第一步：变形方程两边同除以 ，得：。第二步：换元令 ，则 ，代入方程得：。第三步：求解一阶线性微分方程利用通解公式：。计算积分 。所以 。回代 z 得
3、求
解：当 时，，。分母 。原式极限转化为 。
选取不同的路径趋近于 ： 取路径 ：原式 。
取路径 （即 ）：原式 。
答案：
4、 和 是方程组确定的隐函数，求 和
解： 方程组给定为：其中 和 是由方程组确定的隐函数。
首先，求 。对方程组两边关于 求偏导（视 为常数）：
将两式相加得：
其次，求 。对方程组两边关于 求偏导（视 为常数）：
即：
由第一式得 ，
代入第二式：
化简得，
5、常系数线性齐次常微分方程组基础解组为：，最高阶系数为 1，求原微分方程
解： 分析特征根： 解 对应特征根 。解 对应一对共轭复根 。构造特征方程：。还原微分方程：
6、级数 ，求确定级数收敛的 的最大范围
解： 通项等价无穷大分析 当 时：。
。所以通项 。
利用p-级数判别法级数 收敛的充要条件是 。这里 。 令 。
答案：
7、已知 为全微分，求
分析：，。验证：，。相等，为全微分。
求解偏积分： 由 ，对 积分：。对 求导：。令其等于 ：。得 。由 ，得 。答案：
8、求 的和函数
分析：第一步：裂项。 原级数 。
第二步：利用已知级数展开已知 （）。
。
。整理得：。
（注：当 时，；当 时，级数收敛于1）。
答案：
二、证明题
题目：设 且 收敛。证明：若 收敛，则广义积分 收敛。
证明：由 ，且 收敛，知 在 上绝对可积。
对任意正整数 ，考虑积分与部分和的差：
对每个 ，由 Newton-Leibniz 公式，
于是
因此
故级数 绝对收敛，从而收敛。
已知 收敛，所以
收敛，即广义积分 收敛。证毕。
三、证明题
题目：设 ， 连续，证明：当 不全为 0 时，
证明： 令向量 ，球面上任意一点的位置向量为 。 则被积函数中的变量为点积 。 记 。
利用球面的旋转对称性： 单位球面 关于原点具有旋转对称性，且面积元 在旋转变换下保持不变。做一个旋转变换（正交变换），将向量 的方向旋转至 轴的正方向。 在新的坐标系 下，向量 变为 ，球面方程不变仍为 。 此时，点积变为：。转化为球坐标计算： 原积分转化为：
采用球坐标参数化：。 其中 ，。面积元 。
换元积分： 令 ，则 。当 时 ；当 时 。
代回 ，即得证：
证毕。
四、曲面积分计算
题目：计算 ，其中 为曲线 绕 轴旋转一周而成的曲面的外侧。
解： 曲线 ， 的范围是 ，对应 的范围是 。 绕 轴旋转，曲面方程为 ，其中 。这是一个开口向右的旋转曲面（类似喇叭口）， 是该曲面的侧面，方向为外侧（法向量 分量为正）。
注意： 不是封闭曲面，它有两个开口：在 处（半径为0，是一个点）和在 处（半径为1的圆盘）。
利用高斯公式（补面法）： 设 。 计算散度：
为了使用高斯公式，我们需要封闭曲面。
补上右侧底面 ：平面 ，范围 。 由于 取外侧，为了构成封闭区域 的外侧，补上的盖子 的法向量应指向 轴正向，即 。 （注： 处缩为一点，面积为0，无需补面）。
根据高斯公式：
**计算三重积分 **： 利用“先二后一”法（切片法），对 进行积分。对于固定的 ，截面 是圆域 ，其面积为 。
其中：
所以三重积分部分为
计算补面积分 *
： 为 ，，法向量 。
利用极坐标计算：。
最终结果：
五、曲线积分计算
题目：若 ，使积分 与路径无关。 为椭球面 上连接 及 的简单光滑曲线，从 正轴看为逆时针。求该积分值。
解： 1、利用路径无关的条件由于积分与路径无关，我们可以自由选择从起点 到终点 的积分路径。2、 选取特殊路径为了简化计算，选取在 轴上的直线路径作为积分路径 。 该路径的方程为：，其中 从 变化到 。 在此路径上，有 ，。
原积分转化为：
计算定积分：
答案：
六、曲面积分计算
题目：求 ，其中 是 的外侧（）。
解：
方程 描述的是一个环面（Torus），也就是类似轮胎的形状。其中 是环面中心到管中心的距离， 是管的半径。由于 ，该曲面没有自交，且是一个封闭曲面。 取外侧。
设向量场 。 计算散度：
根据高斯公式 ，曲面积分等于散度在曲面所围区域 上的三重积分：
其中 是该环面的体积。
环面可以看作是一个半径为 的圆（面积 ），绕着与其共面且距离圆心为 的轴（轴）旋转一周形成的。
根据古尔丁第二定理（Pappus-Guldinus theorem），旋转体的体积等于截面面积乘以截面重心旋转的路径长。重心旋转路径长为圆周长 。
因此，环面体积 。
七、Fourier 级数相关
题目：已知 为 周期函数，且 。 (1) 写出 在 的 Fourier 级数 (2) 证明该级数绝对收敛
解答：
(1)由于 是 周期函数，其 Fourier 级数展开式为：
其中 Fourier 系数为：
(2)要证明级数绝对收敛，即证明 。
因为 ，所以 、、 均连续且为 周期函数。 对 进行两次分部积分（利用 以及周期性）：
由于 ，第一项为0。继续对剩余项分部积分：
由于 是周期函数，，且 ，中括号内的项相减为0。 因此：
同理可得：
因为 在 上连续，所以 有界且平方可积。 根据柯西-施瓦茨不等式：
其中 为常数。同理 。 即 Fourier 系数 和 都是 阶的无穷小。
由于级数 收敛（-级数，），根据比较判别法：
因此，该 Fourier 级数绝对收敛。证毕。
