我们数海2025-2026年度最新一期的课程已经开始，全新课程与以往所有内容均不重复，有课程有讲义，更有全天答疑服务，零基础的你也不用担心，报名我们课程后好好学习，什么新领军、CMC或者考研数学，一律不在话下（今年高三毕业生如果上下两期都报，则可以各自优惠50！找我领取优惠券然后报名，带你开启逆天改命之路，用大学数学竞赛弥补高中数学的遗憾）

虽然说绝大多数学校的数分高代期末考试题都水的一批（直接照搬课本基础题或者作业原题，无一点挑战性），但是还是有少数的几个名校，一直坚持用心命题，考察有区分度，有意义的题目，其中之一就是华五高校——南京大学

来看一道南京大学之前的数分期末考试压轴题，异常的抽象...

这是某年（哪年我忘了）南京大学的数分3期末考试卷子，就单看这最后三道题，恐怕已经劝退99%的数学系本科生了！怕是一个也不会做，甚至可能读不懂题

我这里有南京大学历年来数分高代所有的期中期末考试完整试卷（PDF无答案），里面有大量的好题新题，非常有区分度也很有训练价值，可惜的是这份资料在互联网上你恐怕找不到！因此若有需要，可以来报班学习一下，我直接给你题目+分析+解答

今天我们来讲解一下全卷最后一题，这种题平时你在数学分析课程中估计完全没有见过，但是其实真的只需要微积分课本知识就能完成，而且还可以加强

• 零基础顶多是做不出来，但是看懂没问题

问题与解析

设是正整数，有限维线性空间满足对任意都有，给定，证明：存在，使得其体积满足且对任意，只要，就有在中恒为零

若 ，取一个足够小的立方体即可。下面设 。

取  的一组基，对 ，记

先说明：若 ，则存在某个点 ，使，否则  在  上恒成立，又，由连续性可知它恒为零。但  线性无关，所以系数全为零也即 ，这与  矛盾。

现在对每个固定的点 ，考虑单位球面上满足的那些 构成的集合。这是单位球面中的开集（若单位球面上某个满足要求，则单位球面上与相近的点也都具有该性质）。

由前面，这些开集覆盖整个单位球面。单位球面是紧集，根据有限覆盖定理，所以可用其中的有限个集合覆盖，也即可以取出有限个点使得对任意 ，总有某个  满足

取 ，使，令

有限个点不影响测度（体积），因此，从而

下面验证  满足要求。任取 ，写成，若 ，则 。令，由前面，存在某个 ，使得，于是

所以，因此若 ，只能有 恒成立，结论得证。

加强

设是正整数，有限维线性空间满足对任意都有，证明：存在有限个点，使得对任意，只要，就有恒为零

证明已经蕴含在前面的过程当中，不再赘述

觉得我讲的好，想要看清题目本质，用初等方法和同济高数知识解决一切难题，或者希望在2026年的各大关键性考试中一鸣惊人，逆天改命，就来报名我们的数海考研竞赛全年班学习吧。

2026年度最新一期课程，正式开始！！！