“点、线、面、体”
——基于“关联”的数学结构化思维培养策略
《义务教育数学课程标准（2022年版)》指出：在教学中要重视对教学内容的整体分析，帮助学生建立能体现数学学科本质、对未来学习有支撑意义的结构化数学知识体系；为实现核心素养导向的教学目标，不仅要整体把握教学内容之间的关联，还要把握教学内容主线与相应核心素养发展之间的关联.这为“结构化知识”的“关联”建构指明了教学实践的方向与要求.
数学知识具有严密的逻辑性、突出的整体性和天然的系统性。数学知识错综复杂的逻辑结构、数学思想方法的广泛辐射以及数学应用的多领域覆盖，说明架构关联知识网络是必要与重要的。教师应当依据这些特征，在教学过程中进行单元整体教学，帮助学生建构结构化知识。这是培养数学结构化思维的应然要求。
拔尖创新人才是国家发展的重要战略之一。初中阶段数学拔尖创新人才的素养包括学习品质、数学能力、高阶思维及创造力。其中高阶思维的表现特征之一为“善于归纳、总结、应用各种学过的数学知识，擅长在不同知识点或题型之间建立关联，以寻找多种数学解题方法为乐。”[2]这种高阶思维表现特征即为数学结构化思维。因此培养学生的数学结构化思维是有现实意义的，也是必要与重要的。
数学结构化思维是学生在课堂学习的过程中，通过习得新知、利用新知解决问题而慢慢形成和发展的。因此注重建构结构化知识是培养结构化思维的前提与载体。
基于结构化表征视角的知识样态，结构化知识包含客体性知识结构、主体性知识结构和工具性知识结构三种.其中客体性知识结构是按学科自身特定逻辑关联本学科客观事实、概念、观念、关系形成的整体；主体性知识结构是学生利用头脑中原有知识结构，对新知识通过同化、顺应等方式加工，内化、重构后所形成的新知识结构，它是内化于头脑中的认知结构；
工具性知识结构是主体性知识结构在解决实际问题中的表现，即本体知识运用思维、规则、规范和程序等方式解决实践问题，它是外显于知识应用的实践结构，体现了本体知识和个体思维迁移的结果．因此学生通过命题理解、内化反思和情境性应用等方式获得结构化知识，培育结构化思维。所以建构结构化知识体系既是学习结果，也是深度学习的过程。（图1）
数学结构化思维是具有数学学科特质的结构化思维，它是一种高阶思维，是发展创新思维的基础，因此其内涵可以理解为以数学知识为思维对象，以对数学知识的构建为思维过程，通过对数学知识的结构进行梳理，建立结构化的数学知识网络。在面对数学问题时，能从多个角度深入地分析数学问题，利用关联的、结构的、系统的思维找到解决数学问题的方案，进而顺利地解决数学问题[4]。从上述内涵可以知道，数学结构化思维的培养要经历两个阶段：首先是客体性知识结构如何转化为主体性知识结构；其次是主体性知识结构怎样转化为工具性知识结构。
结构化知识是数学结构化思维的基础与前提，同时数学结构化思维又能促进和优化知识结构化。在课堂实践中，学生逐步形成数学学科知识结构与认知结构，同时，通过从简单、良好情境问题解决到复杂、不良情境问题解决，发展学生问题解决能力，指向高阶思维和创新思维培养。（图2）数学结构化思维的培养落脚点是帮助学生建构“主体性结构化数学知识”和“形成优质工具性知识结构”。通过夯实关联点、梳理关联线、组建互联网及架构关联体，由点连线、线成面及面成体，展开实践探索。
关联点是数学知识体系中的一个个具体的知识点，它是知识结构化的基石，也是数学结构化思维的“节点”。扎实稳固的基石，是学生开展理解、类比、联想的前提，为知识间的关联奠定基础。因此在新课教学中要注重关联点的教学，使学生体验知识的形成过程，理解知识本质，感受蕴含的数学思想方法，做到“知其然，知其所以然”。
案例1用描点法探究一次函数图象.
描点法是探究函数图象的基本方法。一次函数图象是第一个实践的对象，因此针对教材中的合作学习内容（图3），教师可以通过以下五个追问，使学生明白如何取点、取点时要考虑哪些因素、探究完整的图象特征时要注意什么：①这些自变量x的值有什么特征？②省略号代表什么含义？为什么？③省略号的含义在画图中怎样体现？④通过上述画图过程，你有什么经验？⑤你能归纳出画函数图象的一般步骤吗？通过教师引导、师生互动，归纳出描点法研究函数图象的一般步骤（取点、列表、描点、连线），夯实“描点法研究函数图象的一般方法”这个重要关联点，为反比例函数、二次函数及高中指、对、幂、三角函数图象的研究夯实基础。连点成线，形成关联线。在新课学习过程中的“关联点”往往是零散的、独立的。因此教师要基于数学知识的整体性及内在逻辑，进行合理的教学设计，既考虑关联线的起点与固着点，也需关联它的延伸点，以及两者之间关联的路径、载体，使学生理解各个知识点间的关联之“理”，掌握它们的关联之“术”，形成关联线，逐步形成知识的结构化。在此过程中，促进学生由点状思维向线状思维发展，提升思维水平。
案例2同底数幂除法法则.
同底数幂的除法是整式乘法运算的一部分，学生已经系统学习了整式乘法的运算，因此在教学的引入环节，通过问题1和追问1开展教学.
问题1我们已经学习了整式乘法的哪些内容？
追问1我们将要学习什么内容？为什么？
师生活动师生一起梳理整式乘法的学习内容如下图4，猜想整式除法的学习内容，并且类比整式乘法，明确同底数幂的除法是整式除法的基础......阅读全文请扫描下方二维码哦
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