图清理明--且看南京一模第11题破解之道

对于三角形的变化，先搞清楚四个基本问题：（做起来并不基础）

1.半径  的圆内接三角形，面积何时最大？

先说结论：内接正三角形时面积最大为。

2.已知 面积 ，求其外接圆半径  的最小值？

先说结论：固定面积的三角形，正三角形外接圆最小。

3.半径  的圆内接直角三角形，面积的最大值？

先说结论：内接等腰直角三角形时面积最大为2。

（这个比较简单，即内接矩形问题）

4.半径  的顶角是锐角或直角的圆内接等腰三角形，面积如何变化？

先说结论：先直角等腰直角三角形面积为2，逐渐增大，到等边三角形最大，再逐渐减小到0.

搞清楚这4个问题后，我们来看B选项。 对于半径 的圆内接直角三角形，它的面积最大值为 2，此时三角形为等腰直角三角形，两条直角边均为 2，即对应的弦长为 2。 如果保持弦不动，将直角顶点向上或向下平移，得到的直角三角形面积都会小于 2。 而本题中三角形面积恰好固定为 2，这就要求顶点 A 必须再往上抬高，此时原来的直角就会变成锐角。 由对称性可知，三角形的所有内角都只能是锐角，不可能出现钝角。 因此任意一个角所对的边都满足：该角为锐角 ⇨ 余弦为正 ⇨ 两直角边平方和 ≥ 对边平方。 故 B 选项

正确。

再来看C 选项。

当边长  取得最小值时，根据运动可知点  恰好位于弧  的最高点，此时三角形是以  为底、弓形高与底边构成的等腰三角形，这正是古代数学中弦、矢、径之间的基本关系：弦固定时，矢越高，则弦越短；矢越低，则弦越长。刘徽在注解《九章算术》时，用割圆术与勾股定理严格给出了关系式：

我们用现代角度观点，结合弦矢关系来推导C选项。设圆心到弦  的距离对应的角为 ，外接圆半径 ，则：弦长：，矢高（三角形的高）：。代入面积定值 ，得到θθθ，实际上角θ就是角A，直接得到：因此C选项成立，C正确。

再看D选项。由上面的第4个问题，初始位置时，∠A=90°，边  最大，等于直径，此时三角形面积恰好为2。 点A在弧的最高点，形成等腰三角形。随着  逐渐缩短，三角形面积先增大，到等边三角形时达到最大，之后再逐渐减小。在面积从最大往减小的过程中，会再次出现一个面积等于2的等腰三角形。这说明：满足  且面积为2的三角形不止一个，并非D选项对应的唯一角45°的等式。因此D选项错误。