南京中考必考点③:三角形全等与相似

一、知识点概述

全等三角形和相似三角形是初中几何的两大核心工具，也是南京中考几何题的必考内容。全等用于证明线段相等、角相等，相似用于求线段比例、面积比。两者常常结合使用，是解决几何综合题的关键。

1. 全等三角形

• 判定定理：SSS、SAS、ASA、AAS、HL（直角三角形）

• 性质：对应边相等、对应角相等、周长相等、面积相等

• 常见模型：一线三等角、手拉手模型、倍长中线

2. 相似三角形

• 判定定理：AA（两角对应相等）、SAS（两边成比例且夹角相等）、SSS（三边成比例）

• 性质：对应边成比例、对应角相等、周长比=相似比、面积比=相似比的平方

• 常见模型：A字型、8字型、射影定理、母子型

二、经典考法盘点

考法一：全等三角形证明

基础题型，通常出现在解答题前几题。

典型例题：

如图，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE。求证：BD=CE。

解题思路：

分析：要证BD=CE，考虑证△BAD≌△CAE

证明：∵∠BAC=∠DAE

∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，即∠BAD=∠CAE

在△BAD和△CAE中：

AB=AC（已知）

∠BAD=∠CAE（已证）

AD=AE（已知）

∴△BAD≌△CAE（SAS）

∴BD=CE（全等三角形对应边相等）

考法二：相似三角形求值

利用相似比求线段长度或面积。

典型例题：

在△ABC中，DE∥BC，AD:DB=2:3，DE=4，求BC。

解题思路：

∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC（AA）

∴AD/AB=DE/BC

∵AD:DB=2:3，∴AD:AB=2:5

∴2/5=4/BC，BC=10

答案：BC=10

考法三：全等+相似综合（压轴题）

南京中考几何压轴题的常见形式。

典型例题：

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，CD⊥AB于D。点E在AC上，EF∥CD交AB于F。

(1) 求证：△ACD∽△CBD；

(2) 若AE=2，求EF。

解题思路：

(1) ∵∠ADC=∠CDB=90°，∠A+∠ACD=90°，∠A+∠B=90°

∴∠ACD=∠B，∴△ACD∽△CBD（AA）

(2) 先求AB=10，由面积法得CD=4.8，AD=3.6

∵EF∥CD，∴△AEF∽△ACD

∴EF/CD=AE/AC=2/6=1/3

∴EF=4.8/3=1.6

三、解题技巧总结

技巧一：找条件，选判定

已知两边→考虑SSS或SAS；已知两角→考虑ASA或AAS；有平行→考虑AA相似

技巧二：比例线段转化

相似三角形的对应边成比例，善于利用中间比进行转化。

技巧三：面积比的应用

相似三角形面积比=相似比的平方；同高三角形面积比=底边比。

技巧四：辅助线作法

倍长中线、作垂线、连接对角线、作平行线构造相似

四、真题演练

【2023年南京中考】如图，AB∥CD，AD与BC交于点O，求证：△AOB∽△DOC

解析：∵AB∥CD，∴∠OAB=∠ODC，∠OBA=∠OCD（内错角相等）

∴△AOB∽△DOC（AA）

【2022年南京中考】在△ABC中，D、E分别是AB、AC中点，若DE=3，则BC=？

解析：DE是中位线，BC=2DE=6

【2021年南京中考】如图，∠1=∠2，添加一个条件使△ABC∽△ADE

解析：可添加∠B=∠D或∠C=∠E或AB/AD=AC/AE

五、备考建议

1. 熟记全等、相似的判定定理和性质，做到脱口而出

2. 积累常见几何模型和辅助线作法

3. 证明题书写要规范，每一步注明依据

4. 综合题从简单小问做起，逐步深入