初中数学跨学科项目式学习研究
——以“月洞”探秘为例
摘要：本文对于园林中最常见的月洞门进行项目式探究，主要围绕“如何测量月洞门的半径？”这一实际问题展开实地测量研究。学生以小组合作的形式，通过前期的上网搜索，整理相关资料，在实际探究中发现问题、改进工具、优化方案，最后各小组汇报交流，从而充分发挥学生的主动性，提升其综合运用所学知识解决实际问题的能力，实现跨学科融合，发展核心素养。
关键词：跨学科融合；项目式；月洞门
《义务教育课程方案和课程标准（2022年版）》强调了探索大单元教学和开展主题化、项目式学习等综合性教学活动的重要性。项目式学习是学生实现真实学习，发展核心素养的重要学习方式，在此过程中通过跨学科的学习和实践活动，培养学生的综合素养和创新能力。本文在学生用数学的眼光去游玩苏州园林的同时，围绕最常见的月洞门进行探究。
（1）通过自主阅读、网上查阅，了解园林中月洞门的人文历史及相关知识；
（2）通过分析问题、设计方案、实施测量、计算结果来测出月洞门的半径，并对不同的测量方法进行比较分析；
（3）根据前面的探究经验，尝试对测量工具进行优化再设计。
驱动问题如何测量月洞门的半径？共5组，每组选1～2位代表就“如何测量月洞门的半径？”的结果进行汇报。
第1小组：利用数学建模思想将月洞门抽象为圆，进而探究月洞门的半径。
初步想法直径是圆中最长的一条弦。具体操作将每尺零刻度线固定在圆上一点O，拉直卷尺交圆上于另外一点A，OA是圆的弦，根据直径是圆中最长的一条弦，移动点A，当卷尺示数最大时，OA就是直径，那么半径长就是OA长的一半。存在问题误差较大。改进方法利用90∘和30∘特殊度数的圆周角。
对于90∘的圆周角，操作如下：如图1，将三角尺直角顶点B置于圆上，使顶点A在圆上，延长直角边BC交圆于点D，连结AD，根据直角对直径，AD就是直径，那么半径长就是AD长的一半。
对于30∘的圆周角，操作如下：如图2，将三角尺30∘角顶点C及直角顶点B置于圆上，延长斜边CA交圆于点D，以BD为边构造等边△OBD，则由同弧所对的圆周角度数是圆心角度数的一半，易知o是圆的圆心，故测出BD长即为半径长.
设计意图这里根据圆中特殊圆周角所对弦长与半径的关系，从而更加精确地测出月洞门的半径长.
第2小组：针对第1小组测量过程中出现的误差，对第1小组的测量工具进行改进，同时对测量方法进行优化推广.
工具设计与优化利用物理学中的光沿直线传播的原理，安装一个与尺成30∘夹角的激光灯，这就省去了拉绳的麻烦方法推广我们利用改进工具分别对于90∘,60∘,45∘,30∘特殊度数的圆周角进行探究，并现场对于利用与尺成30∘夹角的激光灯改进工具对月洞门模型进行测量
由特殊度数的圆周角，猜想对于一般度数的圆周角都能测出月洞门半径：如图3，若BC=a，半径为r，则有sinA=sin∠COD=CDOC=12ar故r=a2sinA.
设计意图方法推广的过程体现了研究问题从特殊到一般的数学思想.该小组将不同学科的知识整合在一起，还将理论付诸于实践，真正做到将数学知识运用于生活
第3小组：从弦的角度探究月洞门的半径.
初步想法在圆中确定一条弦，取弦的中点，根据垂径定理，那么经过弦的中点并垂直这条弦的直线交圆中的线段即为直径.不足在于，园林中的月洞门有大有小，对于较大的月洞门用绳子和卷尺测量比较困难。
方法改进如图4，在圆中确定弦AB，取AB中点D，过点D作垂直这条弦的直线，此时不需要交圆于两个交点，只需要找到圆上离弦最近的交点C即可.
测量得半弦长AD=a，弓形高CD=b，若记半径为r，则在Rt△OAD中，由勾股定理得a2+(r−b)2=r2，即r=a2+b22b.
实际操作中，由于一定要取弦的中点，比较麻烦，思考对于弦上任取一点作垂线是否可以呢？
再次优化如图5，在圆中确定弦AB，取AB上异于A,B两点的点D，过点D作垂直这条弦的直线交圆于点C，测量得AD=a,BD=b,CD=c，若记半径为r，则由△ACD∼△ECB，得ACCE=CDCB即a2+c22r=cb2+c2,所以r=(a2+c2)(b2+c2)2c.
虽然这个方法计算量较大，但我们借助网络画板编程辅助计算，只需测量出a,b,c的值，就可得出r的值.
设计意图这里采用强大的信息技术支撑，让测量数据的后期处理变得更加简单.这样就可以进行多次的测量，把数据记录好之后，用电脑输入数据，就能立即得出结果，而多组数据的综合处理，也可以减少单次测量产生的误差.
第4小组：从圆的外部，利用圆的切线来测出半径.
这里用到古代工匠常用的工具“矩”.所谓“矩”就是由两把相互垂直的直尺构成.
初步想法如图6，只要将矩的一端A落在圆上，另一端与圆相切于点C，测出AB与BC的长，就可以得出圆的半径.如，测量得AB=b,BC=a，若记半径为r，则在Rt△OAD中，由勾股定理得a2+(r−b)2=r2，所以r=a2+b22b......阅读全文请扫描下方二维码哦
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