条分缕析,刨根问底:南京大学硕士学历的老师明明讲了四种方法,学生为什么还是一个都学不会、一考就废?

敬告：就事论事，不针对任何个人或团体

        个人观点，仅供参考

        请结合个人经历、阅历，判断好坏对错

上图中的题，是我最近刷到的，up主自称是南京大学的理科硕士，而且在视频的开头，它也写出了“4种方法，完全吃透”的豪言壮语。下面通过对它讲解话术的分析，看看它到底有没有“讲透”。

建议各位网友，尤其是学生和家长，搜索图中的视频标题，先看原视频，然后再看我下面的分析和讲解（讲解视频明天发布）。

浅色文字为原讲解话术，深色文字为个人观点！

今天想给大家分享一道

非常经典的老题目

就是这样的一个式子

去求它的一个通项公式

这个题目

其实在我高考那段时间

我是21年高考的

我那段时间

就已经刷到过好几次这个题目了

按它的意思：它之所以说这道题“非常经典”，是因为它在备考时“刷到过好几次”，但不管它刷到的是同一道题，还是同一类题，我觉得都不应该是判断它“经典与否”的标准，按它的标准，“3+5= ”就是小学一年级的经典题，因为学生可能一个星期能做好几遍！

不过，如果从“一题多解”、“考查学生灵活使用基础知识的能力”等方面来说，这道题也算得上一道好题，因为按它给的解法，两个几何解法、两个三角换元法，前者属于数形结合，后者是纯代数的方法，两类解法的差异性还是比较大的，但是不是“经典”，我判断不出来，因为我不知道“经典题”的标准是什么。

当时这个题目

它是作为那种

多选题的压轴题出现的

A选项 B选项 C选项

做一个影子

然后用D选项

去求它的一个通项公式

而这个题目

我发现

我高考完那一年

有好几个地方

模拟题出了这题

然后23年、24年以及25年

甚至是前几个月

这道题还在出现

而且依然是压轴题的位置

从上边这段来看，它说这道题“经典”的深层次原因，可能是连续几年都出现在了多个地区的模考试卷中，是以多项选择题的压轴题的形式出现的，而且基本上都是在第四个选项中给出数列的通项公式让学生判断。

但是，假如真如它所说，这道题只是多项选择题的一个选项，那这道题就不适合以计算题的形式讲，起码不适合完全当成计算题的形式讲，因为选择题的话，学生不一定非得用完整的过程计算/证明出结果后、才能判断选项的对错，而是可以用代值验证的方法去检验选项的对错：以本题为例，假如给出一个选项：“数列的通项公式是a_n=...”，学生在考场上根本不需要像它讲的那样用四种方法之一、“完美”地求出通项公式后再作判断，而是可以直接按照选项中给出的通项公式计算出数列的前三项或前四项，如果都符合题意，那么这个通项公式大概率是正确的；如果其它三个选项里能确定只有一个正确的，根据多项选择题至少有两个正确选项的规则，这个选项不需要验证都可以判定是正确的；如果其它三个选项里有两个可以完全确定正确，通过代值验证正确的，可以把它选上，如果没来得及验证、或者验证了几项都正确但又担心出错的，完全可以不选，这样就可以保证拿到一半分数。

今天我就用四种方法

来给大家详细的讲一讲

这道题到底如何去做

有哪些角度可以去思考

这里要注意：它说要“详细地讲一讲（四种方法）”，不仅要告诉学生“这道题如何去做”，而且还要告诉学生“有哪些角度可以去思考”，我们可以结合它后面的讲解话术，看看它说的到底是什么意思！

先说一下我的个人判断：它其实就是告诉了学生四个具体的计算方法，简单地说就是（把它当成计算题）：少数数学成绩顶尖的学生、也就是本来就有极大概率做对的学生，应该能听得懂、学得会；绝大部分成绩没那么优秀、看完题束手无策的学生，听完了大概率还是不会做，或者感觉会做了，等到考试时再遇到同类型的题甚至是原题，还是做不对，也就是广为流传的“一学就会，一做就废”。

我会用大概两种大的思路

一个是几何法

还有一个是三角换元

去求通项

然后几何法里面

也有两种大的不同的思路

我个人认为：它讲的两个几何方法，一个用余弦定理，一个用勾股定理，并不能算是“两种大的不同的思路”，因为两个方法本质上可以说是一致的，学过锐角三角函数的初三学生，就已经可以用勾股定理推导出（锐角的）余弦定理了，详情请点击观看：你（的孩子）有多强？学完余弦定义，就能总结出余弦定理！一定程度上，我们可以认为：在解三角形时，三角函数、包括余弦定理，都是勾股定理的简便形式或者高级形式，因为使用三角函数或勾股定理解题，过程更少、更简洁，计算量也会少一些；能用余弦定理的地方，基本上都可以用勾股定理替换，而三角函数则不止用于解三角形问题，它的应用范围更广。

本题中，用勾股定理和用余弦定理求解，是两个本质上一致、而具体表现形式上有所不同的方法，这位up主认为上述两种方法是“两种大的不同的思路”，很可能是因为高中教材中是用向量证明余弦定理的，而没有使用勾股定理。

我不能确定的是：它是不知道用勾股定理能证明出余弦定理，还是说他看到两种过程几乎完全不一样的解法，就认为是两种不同的解题思路，如果是前者，只能说明UP主的专业程度有点差。如果是后者，那么这种望文生义的、肤浅的行为方式，对学生造成的潜在危害，可能是巨大的。

第一种是把这个式子

去转换成余弦定理

就比如这样的一个式子

符合我们的a^2=b^2+c^2-2bccosA

然后这个式子

就可以去构造一个三角形

接下来就顺理成章的

可以求出来通向公式了

余弦定理是高中数学的基础知识之一，那些不会做、做不对的同学，不是因为不知道余弦定理或不会判断余弦定理的形式，而是不知道怎么做才能在看到具体问题时联想到余弦定理，那么这些学生在听课时，老师有没有解释清楚“看到具体题目时，怎么做才能想到尝试用余弦定理或勾股定理”这个核心问题，才是学生能不能真正听得懂、觉得会的关键！

第二种方法是一个勾股定理

这个式子不仅可以给它

转变成一个余弦定理的形式

还可以转变成一个

特殊的余弦定理

也就是我们最熟悉的勾股定理

A等于这个根号下B方

加上一个C方

同样的可以构造直角三角形

然后去顺理成章的解出这个通项公式

这之后我们还会讲两种三角换元的方法

这边的三角换元实际上是非常有难度的

“难”与“易”是一组相对的概念，学生听课，不是要来学习“某道题具体有多难”的，而是要学习“我怎么做才能想到老师说的方法”、“看完题感觉难、感觉做不对、甚至感觉无从下手时，应该怎么做才最有可能找到解法”的！

而我很久之前是做过一系列三角换元求通向的视频

而且讲得非常详细

这个题目应该也涵盖在那个里面

但这个视频我还会详细的讲一讲

好

接下来我们就来讲一讲这几种方法

首先是一个方法一

我们来看一看吧

方法一也就是我们模拟题中经常遇到这一题之后

然后命题人想让你去用的这个方式

也就是这个式子啊

这是题目给我们的式子

对吧

我们两边平方一下得到这个

这个联想到一个余弦定理

为什么联想到余弦定理啊

为什么看完题要两边平方？平方之后，为什么要联想到余弦定理？

因为我们这边是一个平方

然后呢

sn是一个平方

1可以看作1的平方

而这个sn我们是不是可以凑成一个

2乘以sn乘以1

然后呢

再乘以一个cos2π/3

对不对

而这个式子不就是我们最熟悉的

a^2=b^2+c^2-2bc cosA

就是我们的余弦定理

上边这一段，看似在解释“为什么要联想到余弦定理”这个核心问题，实际上，它更像是在证明“用余弦定理是正确的”，也就是说，他在证明“这个能得到正确结果的方法是正确的”。这里说的有点拗口，而且这两点呢，区别不是很明显，可能也是很多同学没有注意到，或者经常混淆的，需要大家认真去体会其中的区别。

所以我们就可以根据

a_{n+1}、s_n以及1

去构成一个内角为2π/3的一个三角形

好

我们来看看

这个三角形

有怎样的一些意义呢

然后你会发现

这边呢

n它是可以任意取的

细节问题：初中时，学生就已经学到了实数集。如果“n是可以任意取的”，估计很多学生可能会下意识地认为，n可以取到任意实数。而实际上，在数列中，项数n只能取正整数。

我当然知道，很多学生都能正确理解它要传达的意思，但是老师平时这种不严谨的说法或随口说的习惯，可能会在不知不觉中对学生产生很大的负面影响：那些经常犯这类似错误的学生，很可能就是在老师这种坏习惯潜移默化的影响下形成的。

n=1、n=2、n=3

都是可以的

那我们的第一组三角形

就是这个1、s1和a2

第二组三角形呢

就是这个1、s2、a3

我们先一组一组的画出来

我们先画这边的第一组三角形

也就是我这边画的这个三角形

这边是1

这个边呢

是我们的s1

而s1就得于a1

对不对

好

你看啊

根据我们这个余弦定理的性质

是不是

1和a1的夹角

应该是一个2π/3

因为这边是一个cos2π/3嘛

对不对

好

那我们把这个1这条边的顶点啊

和这个a1的顶点

我们连起来

是不是按照余弦定理

我们就可以算出a2

没问题吧

这就是我们的第一组三角形

而在第一组三角形的基础上

如何得到第二组三角形呢

注意看啊

第二组三角形

1还在

所以我们这个边呢

还放在这不动

而我们第二组三角形的另外一条边啊

是s2

s2是不是应该等于一个a1+a2啊

而我们

注意看

这条边是一个a1

没有问题的

但是我们第一个三角形啊

构造出了a2这个边

那我们把a2这个边啊

给它移到a1这个边的延长线上

那这一条边

不就是s2嘛

这里的逻辑其实是反的，正确的逻辑应该是：先有1、S_2、a_3，然后结合他说的第一组三角形，得到第一组三角形中的a_2，与第二组三角形中S_2中的a_2刚好构成一个等腰三角形。

所以，这就是我前边提到过的：他不是在解释“怎么想到这个解法的”，而是在证明“他这么做是正确的”。这就是很多学生听不懂、学不会或者说“一听就懂、一做就废”的真正原因。

也就等于我们的a1加上一个a2

对不对

所以我们再把这个顶点和这个顶点连起来

根据余弦定理

我们就得到了什么啊

就得到了a3

这里又出现了一个非常严重的、而绝大多数学生又很难发现的错误，也算是一个逻辑错误：不管是前边第一组三角形中的a_2，还是这里第二组三角形里的a_3，严格来说，都不是根据余弦定理得到的，而是根据已知条件得出来的，但由于他已经把已知条件变形成了余弦定理的形式，所以上边的两种说法看起来是一样的，但是在解题思路和分析逻辑上，二者还是有本质区别的：根据余弦定理得到的，不是a_3，而是以1和S_2为邻边、夹角为2π/3的三角形的第三边，而这个第三边的长度刚好和根据已知条件计算出的a_3一样，进而得出“a_3就是三角形的一条边长”的结论；而先根据已知条件得到a_3，再根据a_3的计算式画出对应的三角形，进而得出a_3表示这个三角形的一个边长，最后再把第一组三角形叠加进去，得到完整的分析思路，这才是一个正常的讲解思路和逻辑。

说到底，他还是在证明他的这个解法是正确的，为什么我一直在强调这一点，而且还一直在说？因为他在讲解之前，已经把对应的图画出来了，而且三角形中，2π/3的内角所对的边,他直接标成了a_2、a_3、a_4...，很明显，他不是在讲解、分析、探索一道题的解法，而是在证明“他讲的这道题的解法就是正确的”。

同样的

我们得到a3之后呢

再延长到这个地方

然后把这个端点

去和我们的1这个端点啊

连起来

又得到一个a4了

所以你会发现啊

我们根据这个余弦定理的公式

所有的三角形

以及所有的这个a1

全都能构造出来了

没问题吧

好

那既然构造出来之后

我们怎样去求它的通向公式呢

来看啊

这个构造的时候

是有很多很多性质的

题目上说了

你可以看到

a1是等于1的

a1既然等于1

你会发现啊

神奇的事情发生了

我们这条边等于1啊

这条边也等于1

那我们构造这个三角形

不就是一个什么

等腰三角形吗

等腰三角形

这个角知道了

120度

那这个角呢

就30度嘛

而后面我们继续构造

我们构造了

这个三角形

这个三角形

诶

这两个边都是a2

它也是一个等腰啊

也是等腰的话

注意啦

这30度

那这个就应该是多少

应该是15度

同样的

这个角就应该是多少

应该是15度再除以2

对吧

所以以此类推

这个所有构造的三角形

我们全都能解出来

好

那我们看啊

最终我们要求的是

一个a_n吧

an的话

我们就去看看

最终这个an这条边啊

它这个角是多少度

我们以此类推一下

这个角是

6乘以2的0次方分之π

对不对

然后第二个角呢

是不是一个6乘以2的

1次方分之π啊

一个小细节：他这里直接给出来的是最终结果，其实还是在证明他的方法是正确的。但是在分析的过程中应该给原始的数据，所以这里应该用π/6✗1/2，连一次方都不能用，因为π/(6✗2^n)是根据这些计算得到的结论，学生不可能在计算a_1、a_2时就使用这个式。

所以类推就可以得到

最后

an sn a_n+1构成的三角形

底角应该是这个度数

细节错误：上面的板书中出现了一个明显的书写错误：第二个a_n应该是 s_n，这是很正常的，但是错误的是以a_n、s_n和a_{n+1}为边长构成的三角形，不是等腰三角形，所以肯定不会有底角，

好

这个角度构造出来之后

我们是不是就可以

求出来了呀

怎么求呢

我们在最终大的这个三角形里面

最终这个给它扩展到

这个an+1上去

这个大的三角形里面

最终这个角就应该是

我们的这个度数

而这个边我们是知道的

它是得于1

并且呢

这个角度我们是知道

是三分之二π

而这条最终的边

就是我们的an+1

没问题吧

既然如此

我们就可以利用正弦定理

也就是

1对应的sin夹角

应该等于

an+1这条边

对应的sin三分之二π

这个夹角

也就

an也就算出来了

严重的细节错误：前边得到的通项公式，是从数列的第二项开始的，也就是不包括数列的首项，因此需要验证：首项是否符合这个通项公式，然后才能确定数列的通项公式是一个、还是分段的形式。他这里刚好犯了学生最容易犯的错误之一。

所以这是我们的第一种方法

叫做几何法

解法的名字叫什么不重要，重要的是能不能把“找到这种方法的过程”讲清楚。很明显，他没有做到这一点。

我当时遇到的就是用这个方法1

来构建的一个题目

从这里很明显可以看出来：他是把选择题当成计算题做了。如果是平时练习，我也非常建议同学们这么做，不管选项是正确的、还是错误的，都要弄清楚“为什么”；但是如果在考场上这么做，就不是一个好的策略：对于看完题不知道怎么判断的学生来说，他们都可以通过代值求出数列的前三项或前四项，进而验证选项中给出来的通项公式是否正确，这可能也是这些学生能判断出选项正误的唯一方法；而对于极少数成绩非常优秀，又有实力能做出这道题的学生来说，代值验证的方法可能也是最高效、最省时间的方法，因为按计算题严格证明的方法、即使不用写出完整的计算过程，也是比较浪费时间的，他们完全可以把这些时间用于解其他题上。

虽然很多学霸级的考生做完试卷后，可能还有十分钟甚至更多的时间，但这并不能证明每次考试他们都有时间剩余。所以对于这些学生来说，先用代值法验证选项的正确性，如果做完试卷后还有剩余时间，再来具体计算，才是最佳的考试策略。

它的ABC选项

就是在那边说

哎

根据这样的一个式子

我们可以构造一个三角形出来

然后呢

比如让你算

哎呀

我们的这个角度是多少啊

这个的

比如算一个A选项

a5是多少啊

然后怎么怎么样的

然后后面呢

就开始慢慢的引出

这个CD选项

也就是要求它的通向公式了

好

我们再来看看方法2

方法2呢

还是几何法

但是这个地方

我们用的是勾股定理去写

如何去写呢

这个式子一样的

我们对里面进行一个配方

还是一个非常核心、前面反复提到的问题：为什么？为什么要进行配方？理论依据或者这么做的出发点是什么？那些看完题不会做的同学，不是因为不会配方，而是因为不知道为什么要配方、不知道怎么才能想到配方。

配方就是sn加二分之一的平方

再加上一个四分之三

也就是二分之根号三的平方

哎

这个式子啊

我们就想到了

A方等于B方加C方

直角三角形的一个勾股定理形式

那么一样的构造

怎么构造呢

我们就以二分之根号三

然后呢

sin加二分之一

和an

这边应该是an加一

写错了

为边

构成一个直角三角形

这边改一下

应该是一个an加一

在学生真正想听的、需要解释的核心问题上，他只字不提，但是却在几乎每个学生都会的具体的代数运算上，讲的反而非常详细，我不知道他到底是想讲给什么样的学生听：是那些连初中的代数运算都做不好的差生，还是那些见一知百、一点就透、绝顶聪明的少数派？如果是前者，那他更应该把更多的时间和精力放在解释“为什么”上；如果是后者，那他的讲解时间可以大幅缩短。比如上边这一段，可以直接精简为“配出勾股定理a^2+b^2=c^2的形式”，就这么一句话就可以了。

简单来说，他的讲解对于成绩好的学生来说太浪费时间，而对于那些成绩差的学生来说，又几乎没有什么听的价值，因为他几乎没有解释任何“为什么”。

这个时候我们来定义一个新的东西啊

叫做s0等于a0等于一个0

这是不影响我们的整体数列的一个排布的

为什么要这样定义呢

你会发现

它的a1是等于1的

而这三个东西啊

它的第一项是什么呀

第一项是二分之根号三

如果我们的第一项定义为an等于0的时候

那就是s0加二分之一

也就等于二分之一

然后呢

后面这个应该是一个a1

a1等于几

等于1

这三个东西不也构成了一个直角三角形吗

所以这三个东西啊

构成直角三角形

完美符合了an等于0的情况

因此我们去给它一个定义

这样就更方便我们去看了

 这里明显就是在化简为繁，S_0=a_0=0S的定义压根儿就是多此一举：因为√3/2、S_n+1/2和a_n三项之间已经满足勾股定理，以它们的长为边构成的三角形，已经构成了直角三角形，在根据 a_{n+1}^2=(S_n+1/2)^2+(√3/2)^2画出的直角三角形中，已经有一条长度为√3/2的直角边，而根据n=1、即a_2^2=(S_1+1/2)^2+(√3/2)^2画出的初始图形中，只是没有长度为a_1=1的斜边而已，但是这一点是比较明显的，学生也很容易能自己补上。

而up主a_0=S_0=0的真正目的，也只是为了引出长度为a_1=1的直角三角形的斜边，就算学生没有在图中补出a_1，也不影响后面的求解，因为 a_1=1是已知条件，每个学生基本上也都能从n=1对应的图形中，判断出边长为√3/2的直角边所对的角是30度，顺其自然就能在直角三角形中用三角函数表示出a_n(n≥2)，最后再验证n=1的情况就可以了。

用有点儿佛法的话来说就是：过于“着相”了。就像知道了和尚戒律的人，看到济公、鲁智深这种既吃肉又喝酒的和尚，就认为他们不可能是高僧一样。

他的新定义无非也就是为了证明数列的首项a_1是符合勾股定理的规律的，但这一点是完全没有必要的，假如我把题干改成“a_1=0，a_2=1，a_{n+1}=√{(S_n+1)^2+S_n+2}”，它定义“S_0=a_0=0”的思路就行不通了，而没有这个定义，并不影响按照这个勾股定理的思路得到最终的结果。

好

定义完了之后我们来看一看啊

an=0的时候

就是这样一个三角形

二分之更号三

二分之一

和一个一

你会发现

这个角度不是30度吗

因为二分之一

二分之更号三

一的直角三角形

就是30度的

这个角度是60度

接下来继续看

我们的第二项是什么呀

第二项是二分之更号三

然后应该是一个s1加上二分之一

然后呢

是一个a2

而我们的s1加二分之一

不就是一个a1加上二分之一吗

而我们的第一个三角形啊

构造出了一个这个边叫做a1

同样的我们把这个a1延长到这个地方来

那这个边的长度不应该就是二分之一加上a1了吗

细节错误：这里不是“把a_1延长到这个地方”，而是“把长度为1/2的直角边延长a_1的长度”，准确的说，根据前边得到的勾股定理的关系，这里应该是“延长S_1的长度”，尤其是最后的强调：不应该是1/2+a_1,而应该是S1+1/2，这才是符合前面得到的勾股定理的规律的形式。

这也可以间接证明：他就是在证明他的方法是正确的，而不是在教大家分析、推理和尝试的思路。

所以我们把这个点和这个点连起来

也就得到了一个a2

根据我们的这个勾股定理的形式就得到a2

这里又出现了非常不容易被学生注意到的细节问题：它上边两段既不是在讲解，也不是在分析，而是在陈述一些明显的结论，而且他陈述的逻辑还是混乱的，或者说他的陈述是没有逻辑的。

要注意 ：a_2不是“把这个点和这个点连起来”得到的，而是直接根据“a_2^2=(S_1+1/2)^2+(√3/2)^2”这个规律画出来的，而根据“把这个点和这个点连起来”得到的不是a_1，而是长度为√{(S_1+1/2)^2+(√3/2)^2}的边。

简单来说，导致它上边混乱的根本原因是：它是在知道正确解法的前提下，把正确答案的步骤告诉学生，因此，他说的每一个点都是正确的，但是逻辑混乱，毫无章法，学生也很难理解，更别提听得懂、学得会了。

也正是因为他说的每一点都是正确的，所以我在上边分析的那些点，他们之间的差异才非常的不明显，容易给人一种“你说的和他说的不是一样的吗？有什么差别吗？”的错觉。

同样的我们把a2延长到这个边上来

再把这个点和我们的这个点连起来

得到的a3

同样的a3继续画下去连起来得到a4等等等等

那构建出这样的一个几何意义几何三角形之后呢

我们是不是就可以把an给表示出来了

我们每次构造的这个东西啊

都是一个等腰三角形

所以原本是60度

那这个角就是30度

这个是30度

这个角就是15度

然后等等等等等等

一模一样的

我们去画出最终的an和a_n+1

这个等腰三角形的这个角度

这个角度呢算一下

应该是2的n次方分之三分之π

然后我们再在最后的这个大的三角形里面啊

去用一个正弦定理

正弦定理怎么用

这个角比上这个玩意儿

2分之根号3

应该等于等于什么呀

等于这个90度

比上一个这个边吧

这个边就是我们最终的a_n+1

所以就得到这样一个式子

这样一个式子算一下

和我们的方法一写出来是一模一样的

因此啊

这是我们的方法二

还是几个方法

但是我们不用余弦定理了

因为这道题本身它这个形式就非常好了呀

你可以直接去把它改成一个

勾股定理

也是可以写出来的

写这种分析太累了，所以下边的讲解话术，我就不再一一分析了。建议同学们自己搜索一下原视频，按照我上边的分析逻辑，尝试分析他的讲解思路和逻辑、找一找其中的问题，如果你能像我上边那样找到问题，那么将对你的学习产生非常大的帮助。

好

接下来我们来看一下方法三

方法三就是我非常擅长

我非常喜欢

而且在之前的视频里面

其实讲过这个东西啊

也就是三角换元

它“非常擅长”、“非常喜欢”的方法，既不能证明他能讲好、讲明白，也不能证明这是一个值得学生认真听、认真学的好方法。仅就本题来说，与前两个方法相比，用三角换元的难度非常大，计算难度也非常大，就算是知道能用三角换元的同学，很可能用三角换元法也做不出来，更别说让那些根本就没往三角换元这个方向上想的同学使用三角换元了。

我相信对于很多题来说，用三角换元可以让解题思路更清晰明了，让解题过程更简洁，降低解题的难度等。但就本题来说，使用三角换元法，并不能实现上边任意一个目的，所以是非常鸡肋的。

这边我可以给大家说一个东西

一个不成文的规定

就是如果以后你写一些数列的通项公式

它这个递推公式呢

里面有一些根号啊

什么1加上什么什么东西的平方

或者说什么什么1减去什么什么平方

然后根号下什么什么平方减1

就类似这样的一个式子

并且你用一些基本的方法解不出来通项公式

那大概率就是要用三角换元去解

首先，他上边说的这个使用三角换元法的不成文的规定，说了还不如不说，因为他根本就没有说出一个类似于余弦定理、勾股定理的具体的形式，那么多“什么”，你让学生怎么理解、怎么记、又怎么用？

其次，在讲三角换元法之前，他已经讲了两个几何方法。也就是说，这道题使用三角换元法，并不符合他自己总结出来的“用一些基本的方法解不出来通项公式，那大概率就是要用三角换元法去解”的使用条件；

第三，我可以帮他把这个“不成文的规定”具体化一下，高中阶段，比较常用的可能有两类：第一类，题目中出现形如1-x^2、√{1-x^2}这种可以使用sin^2x+cos^2x=1的（要保证换元前后式子的值域不变），这可能也是高中阶段使用最多的三角换元法；第二类，题目中出现1+x^2或√{1+x^2}这种与tan^2θ+1=sec^2θ或其变形形式如tan^2θ=sec^2θ-1相同的条件。

通常我们在代数运算中使用三角换元法，换元后只有一个自变量；但是，本题是要求求数列的通项公式的，如果使用三角换元法，换元后，每个等式中至少有两个变量，这就要求在换元之前，同学们要在一个等式中变出两个形式一样的式子，这恰恰是使用三角换元法最难的点之一；而换元之后的运算，难度也非常大，就算学生成功地换元了。其中至少一半的学生可能还是算不出来。最终的结果。这就是在本题中使用三角换元法的鸡肋之处。

OK我们来看一看知道题目怎么去写啊

首先啊它又有an

又有什么sn

这个杂揉在一起肯定是很烦的

那我们就全都改成同样的一个形式吧

还是我在以前的同类文章中经常提到的一个问题：“烦”的标准是什么？a_n和S_n杂揉在一起，up主就觉得“肯定很烦”，会不会有学生不觉得烦？另外，一个等式中同时出现S_n和S_{n+1}，算不算“杂揉”？会不会有学生因为找不到解法而觉得“很烦”？那些因为找不到解法而觉得很烦的学生，又应该怎么做呢？

我们把这边的an+1呢改成sn+1减去sn可以吧

然后呢我们把这个减号移到右边去得到这样的一个式子

这个式子我们把根号里面先进行配方一下

配方一下之后注意啊

下面这一步操作可能有点难想

从这里也能看出来：up主知道那些不会做的学生是因为“难想”、“想不到”，而不是因为不会用三角换元法，但是，它仍然没有解释“学生怎么做才能想到接下来的操作”，而上边的移项、配方等操作，都只不过是在告诉学生一个正确答案的具体作法，根本不涉及分析、推理、解释等核心内容；

我们这一步到这一步操作是怎么样啊

是左右同时除以一个数

除以的这个数呢

能让根号里面的这个东西啊变成一个1

为什么要这样做啊

这样做的原因就是为我们去三角换元

构建一个很好的平台

注意它这里的表达逻辑：“操作”是为了给使用三角换元“构建一个很好的平台”，而不是为了能使用某个形式的三角换元、而去“操作”、“拼凑”出那个特定的形式，上边两句话看起来没什么区别、好像一样，但有本质不同：前者是在陈述一个具体的做法，“因为‘操作’后就能使用三角换元”，而后者则是在分析和尝试，“因为觉得可能能用三角换元法，所以才尝试去‘操作’，看看能不能拼凑出三角换元需要的形式”。

为什么

因为三角函数里面非常多的恒等式

它都是以1为一个代换的

比如最简单的，1=sin^2+cos^2

对不对

还有什么tan^2、sec^平方这些东西

这些东西我先不说了

这里算是涉及到了一点学生真正想听的东西，但它刚开始就“先不说了”，虽然上边一段里有一点儿学生真正想听的东西，但是放错地方了，应该放到前面，在尝试使用三角换元法的时候，给学生说这些，前提是把它“不说了”的内容说全、说细了，后面的思路可能就比较顺理成章了。

从这一段里大概也能看出来：up主可能什么都知道，但就是不会讲，心理清楚每一步都是为什么，但就是说不出来，就算少量能说出来的，也是毫无逻辑和章法的东一榔头、西一棒槌，让学生听得云里雾里、丈二的和尚摸不到头！

在三角函数里面，平方等于1

是非常非常多的

因此我们把这边改成1

接下来我们继续看

改成1之后呢

你会发现

我们里面的这个平方啊

是2s_{n+1}/√3

而我们这个东西和这个东西啊

它都是根号三分之2sn

它并没有这边的加1

为了统一起见啊

我就左右再同时加一个根号三分之1

得到这样的式子

得到这个式子的好处是什么呀

是我们可以进行一个整体的换元

核心逻辑问题：“统一”、“同时加”的好处是“可以进行整体的换元”，而不是因为换元需要有统一的形式、所以需要“同时加”、进而得到可以换元的统一形式。

这就是我一直在说的：它是在告诉学生一个正确解法的具体做法，而不是在带着学生通过分析、尝试去寻找难题的解法。

把式子变得如此简单

对不对

bn加1就得于bn

再加上一个根号下bn平方加1

有了这样一个式子之后啊

我们继续去看

这个地方啊可能就需要你有一些经验了

我觉得这里是最不需要经验的地方，如果说这个解法里真有需要经验的地方，那也是看到题后感觉可以用三角换元，如果学生没有见过、也没有使用三角换元的经历，是不可能想到三角换元的。

我们令bn等于tanθn

为什么要用θn啊

因为你的每一个bn它的值都不一样

你不能说等于一个tan的固定的三角函数值吧

这不可能的

你也需要用一个数列去表示它

这边我们就取一个θn

这里的“解释”，给我的感觉非常奇怪：

首先，“你的每一个 b_n它的值都不一样”，这个表达是不规范的、严格来说是错误的；它要表达的真正意思应该是：因为S_n是数列{a_n}的前n项和，是递增的，而S_n与b_n是一一对应的，所以，数列{b_n}不是常数数列，任意两项的值都不相等；我也相信几乎每个学生也都能理解到这个程度，但这并不影响它的表达是错误的，严格来说“每一个b_n它的值都不一样”没有任何意义，因为b_n本身就表示一系列数、是变化的，不还在“每一个b_n”；

第二，不管是什么换元，换元之后都不可能是一个固定的三角函数值，即使是令b_n=tanθ，θ也是一个变量、而不是一个定值；所以，它这里看起来像是在解释什么，实际上什么也没解释，或者说没一句话说到了点子上，这就很坑学生；

第三，从上边一段话可以判断出来，它大概率是什么都知道的，但就是说出清楚，是不是像那些“什么都知道，但就是说不清楚、写到卷面上就得不了分”的学生？所以，它不像是在给学生讲难题的老师，而更像是一个明明得有“完整”的过程、也得到了正确结果、但就是没拿到满分的学生！（得到通项公式后，没有验证n=1的情况，严格来说是要扣步骤分的）

那进行换元

这个相当于也是一个代换叫做换元

换元的话

我们要考虑一个范围

就是我们每一个bn能不能唯一找到一个θn与它对应啊

一定是可以的

为什么呀

因为你看题目

很显然我们这个an啊，一定是大于0的对不对

既然大于0

我给它限定一个θn在0到π/2

在0到π/2上这个tan的函数的图像

是不是0到正无穷都可以取到啊

而且它是一个单调的吧

所以θn在这个范围里面

一定是有唯一的一个是与bn一一对应的

这就没问题了

大家认真去体会：上边这一段，它还是在证明它的做法是正确的，而不是在解释为什么要这么做。

这里的“解释”，也不太对，它把重点放在换元后“tanθ_n在（0，π/2）上单调递增”的，但如果真要解释的话，它也应该先证明数列{b_n}是单调递增的。另外，“正切函数在（0，π/2）区间单调递增”是每个学生都必须掌握的基础知识，并不需要单独拿出来说！

最重要的是：假如b_n=-(2S_n+1)/√3（因为是假设的，所以这里只考虑这一个关系，不考虑包括已知条件在内的所有其它条件），那么这时候换元，是令“b_n=-tan θ_n , 0<θ_n<π/2” ，还是令“b_n=tan θ_n , -π/2<θ_n<0”呢？（因为换元后，两种方法对应的函数，单调性不同，所以，应该只能用其中一个、而不是两种换元方法都行，这需要根据具体问题具体分析，但这是一种假设的情况，所以，只能说到这里） ，因此我说它上边“解释”的重点是不对的！

总之，它这里的“解释”，也很怪：看似在解释什么，实际上什么也没有解释，还不如不说！

OK继续写

换元之后呢

我们就得到tanθn+1

等于tanθn加上这个根号这个东西

根号这个东西

不用着急

慢慢写一下

它就应该得于

这个就是什么呀

cos平方分之sin平方再加上一个1

开一下应该就得于什么呀

就得于cosθn分之1

注意开方的绝对值

绝对值这边不用考虑

因为θn有一个锐角的范围

细节问题：开方要取非负值，这里不是“绝对值不用考虑”，而是因为θ_n是锐角，所以开方后可以直接取1/cosθ_n.

还是前面多次提到的：一、学生能正确理解它表达的意思；二、但它的表述又确实是错误的；三、它可能真的什么都知道，但又确实什么都说不清楚；四、它是在以老师的身份给学生讲难题，但它的话述又很像那些“什么都知道、什么都会、但总是拿不到满分”的学生。

接下来就算到这个式子

这个式子如果你很熟悉

三角函数的一些课外的公式

这个很简单吧

是一个什么

应该是一个万能公式

对不对

万能公式我就不说了

这东西我都没怎么记过

这个式子你要会处理啊

这里就很矛盾：它先说“很简单的万能公式”，又说“我都没怎么记过”，这是什么意思？“没怎么记就记住了”、还是“压根儿没记”？

如果没记住，它又凭什么说“很简单”？又凭什么要求学生“会处理”？

如果它记住了，这里是不是也应该再给学生证明一下、以证明它说的“很简单”是正确的？

很重要的一点，从它的板书来看，它应该是没有把“sin 2x+1=sin^2x+2sinx cosx+cos^2x”这一步写到正式的答题过程里，这就有可能会误导学生、像它那样直接写结论“sin 2x=(sinx+cosx)^2” ，这就很可能被扣步骤分，因为少了一行、学生轻易就能写出来的步骤就被扣至少一分的步骤分，这对学生来说，损失太大了！

1加上sin

θn就得于什么

就得于sin平方二分之θn

这个n在这儿加上一个cos平方二分之θn

再加上一个

把这个sinθn用二倍角去带换去个2syn

然后乘以cos对吧

这个式子就是这玩意儿的一个平方

然后它的分母呢

分母我们用二倍角公式把它改成这个式子

上下同时约掉一个sin加上cos就得到这个式子

这个式子上下同时除以一个cos就得到这玩意儿

这玩意儿是啥呀

诶很简单大家都看出来了吧

应该是我们的tanin的二分之θn加上一个四分之π

它反复提到“简单”，但就是不说具体用的是哪个理论或公式，我相信肯定有同学一下子反应不过来，明明是“这就是正切的和角公式”几个字就能说清楚的，它就是避而不谈，像极了那些“把‘为你好’挂在嘴上、但一行动起来就对你不好”的偏心家长。

非常重要的一点：板书错误，θ_n/2的三角函数形式它全写错了，就算是放到初中，它的写法都一定是错误的，学生如果在试卷上这么写，几乎可以肯定是要被扣步骤分的，这是非常容易被学生、尤其是那些成绩不是很好的学生“学”过去的：“老师写的肯定是对的，所以老师这么写，我也这么写”，正确的写法是下面这样的：

 从它的板书来看，这不像是一个南京大学工科硕士写出来的，反而像是一个什么都懂、但什么都没学透的初中生写的。

好既然得到这个式子啊

你会发现这个tan和这个tan是相等的

那一定就有θn加1等于括号

tanin的括号里面的这个东西

有关这个相等啊

你可能会有些疑问

你有可能会说

哎呀我们这个二分之θn加上这个四分之π

有没有可能在tan的的另外一些这个周期区间里面呢

那这个等于这个就不成立了呀

可能要等于这个玩意儿加上它的周期啥的

有关这个疑问呢

其实是不可能的

如果你对这个还有一些疑问

你可以去看我以前讲的一些三角换元的视频

前面用学生在初中时就应该非常熟练的知识“等腰三角形顶角的外角等于底角的2倍”推算的时候，不管是讲、还是板书，都算是比较详细的，但是到这里这个高中的难点、也是学生容易忽略的细节问题里，它却先是下结论“不可能的”，然后让有疑问的学生去看它以前的相关视频，也没说清楚是哪个视频，这到底是想让学生学好、不是不想让学生学好呢？

至于它没说看哪一相视频，我以小人之心度君子之腹，有没有一种可能：它想让网友浏览它的主页，多点几个视频，以增加点击率和播放量呢？

其实，这里用一两句话就能说清楚：因为 0<θ_n<π/2，所以0<θ_n/2<π/4，进而可以确实π/4<θ_n/2+π/4<π/2. 这个证明过程很明显、也很简单，我有点儿怀疑它没看出来。

那个讲的应该都挺详细的

接下来我们这个式子等于这个式子啊

这个写到这一步

你应该就发现

下面肯定写得出来了吧

这玩意儿我们去配方一下啊

这个地方，我觉得肯定有一部分学生是“肯定写不出来”的，几乎每个学生能判断出来它写的结果是正确的，但是肯定还有一部分学生看到结果之后、想破脑袋也想不出来它是怎么得到这个结果的。

另外，我觉得它对“配方”可能有误解，要么就是它把“配方”和“配凑”混淆了，当然还有一种可能，这只是一个口误。

这个等于这个

对二分之一倍的这个

然后呢就是一个等比数列嘛

然后算一下

θn就可以算出来了

θn算出来之后呢

我们注意上面的换元啊

θn有了

bn就有了

bn有了

sn就有了

sn有了之后呢

an就有了

所以最终就写出来了

我们的bn就得于这玩意儿

就得于tan这玩意儿

然后呢

sn求出来之后

an就应该得于sn减去sn减1

所以也就写出来了

这就是第三种方法叫做三角换元

要注意：上边这一段，从求出θ_n的表达式到最终得到a_n的通项公式，看它说的好像很轻松，但实际上，后面的计算量非常大，难度也不低：首先，它用这个方法，得到的Sn的表达式中含有正切函数，而且还是tan(π/2-x)的形式，这不是一个最简形式，然后还要用S_n-S_{n-1}计算a_n，这又要用到正切、余切函数的恒等变换，而最终a_n的表达式，是用正弦函数表示的，所以从正切、余切到最终的正弦，加上非常复杂的弧度值，肯定有大量学生是化简不出来的，而在那些平时能化简出来的同学中，又会有一部分因为时间不够，导致在考场上做不完，而求出θ_n之前的过程，难度也不小，因此，从整体上来看，这个方法对学生非常不友好，是非常坑学生的。

我觉得，从求出θ_n的表达式到得到最终结果的过程，是非常值得好好写一写的，可以很好地锻炼学生三角变换的能力、降低学生对三角变换的恐惧感，这是我认为这个方法中对学生最有价值的地方，可惜被它跳过去了。

最关键、最重要、也是学生最容易犯的一个错误：检验！已知条件中，“a_n=√{S_n^2+S_n+1”表示“从数列{a_n}的第二项开始，每一项都符合上述已知条件”，也就是说数列的首项a_1并不“符合”上述条件，又因为它最后求通项公式时，用的是a_n=S_n-S_{n-1}，所以，最后得出通项公式后，不是只检验首项是否满足通项公式，而是要检验数列的前两项是否满足通项公式。

三个方法中，它都没有提醒学生去检验，我只能认为它根本没有注意到这个细节，尤其是第三个方法，就算是知道需要检验的学生，很可能也是只检验首项，而漏掉检验第二项。当然，参考答案中，也有可能漏掉检验第二项，而且这种可能性，可能还不低！这一段里，“可能”的含量，可能有点儿高！(^-^)

好

接下来我们来看看第四种方法

第四种方法

其实就是换元上有一点点小小的区别

我们来看看

嗯

我们还是写到这一步

写到这一步之后啊

我们不去换

它等于tn的θn

我们换它等于tn的θn分之一

这也是可以的

为什么可以啊

因为

根号下1加上tn的平方分之一

它化解出来就等于sinθn分之一

它不等于cosθn分之一了

按照它的第三种方法，把过程写出来的同学，可能能发现这里有一个更好的解释，就是：用第三个方法得到的Sn的表达式，是用余切表示的，而同学们更擅长使用正切，而同角的正切和余切，刚好互为倒数，所以，这里换元时直接改用余切，相当于把后面Sn的表达式变成了正切，一定程度上可以减少一部分运算量。

而接下来的操作呢

基本上可以说是一模一样啊

等于这玩意儿

这玩意儿呢

然后还是一样的

上面这个式子给它化解成

2cos平方2分之θn

下面是用一个二倍角

然后呢

就等于tn的2分之θn分之一

一模一样的

这个θn加1就应该得于2分之θn

然后接下来呢

还是一样的

这个θn我们可以解出来

解出来之后呢

就去解出这边的sn

sn解出来之后呢

就可以把an给解出来了

所以这是另一种换元的一个方法

如果你对三角函数这边比较熟

那这些方法

其实你多写几条题目

然后再看到的话

你一定是会有感觉的

那如果你不熟悉的话呢

那你现在就学一学嘛

对吧

简单来说，它这里就是在鼓吹题海战术，用“多写几条题目”去获得做题时的“感觉”，这种效率是非常低下的，而且成绩越差的学生，用题海战术的效果越差，这是一种恶性循环！

它建议“不熟悉的”同学，“现在就学一学”，但是它根本就没有讲清楚，学生又从何学起呢？学生容易犯的错误，它基本上都犯了一遍，如果让学生学这个的话，我觉得效果应该非常好！

最后贴上AI给出的评价，供大家参考。