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• 苏州大学 2026 年数学分析真题

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• 曲阜师范大学2026年数学分析考研试题

• 北京工业大学 2026 年数学分析真题

• 北京工业大学 2026 年数学分析真题

• 补充试卷

合肥工业大学 2026 年数学分析试卷

一. (15 分)

判断极限  是否存在？若存在，求出极限值.

二. (15 分)

设  在  上连续, 在  上可导, ，证明: 在  内存在不同的  使得 .

三. (15 分)

设  在  上连续, 且 . 判断函数  在  上是否一致连续, 并说明你的理由.

四. (15 分)

设  在  上有定义, 并且在  上每一点的极限都存在且为 0, 证明:  在  上可积, 并求 .

五. (15 分)

设  在  上连续, 且 , 计算

六. (15 分)

设 , 计算  的值, 判断级数  是否收敛? 并说明理由.

七. (15 分)

设  在  某邻域内有二阶连续的偏导数, 且

证明: 由方程  在  某邻域内确定的隐函数  在点  处取极值.

八. (15 分)

求平面  与曲面  的交线上距离原点最近的点的坐标.

九. (15 分)

求曲面  () 所围立体的体积.

十. (15 分)

证明:  在  上连续, 在  内可导.

合肥工业大学 2026 年高等代数试卷

一. (12 分)

计算  阶行列式

其中 .

二. (15 分)

已知线性方程组

有 3 个线性无关的解. (1) 证明该线性方程组系数矩阵的秩为 2. (2) 求参数  的值以及该线性方程组的通解.

三. (14 分)

设  是数域  上的  阶可逆方阵,  与  为  上的  维列向量. (1) 试用分块矩阵理论证明: . (2) 当  时, 求  的逆矩阵.

四. (12 分)

设  是数域  上的  次首一多项式, , 且  有  个根 , 重根按重数计算,  不是  的根. 证明:

其中  表示  的导数, 即 .

五. (15 分)

设  是数域  上所有 3 阶对称矩阵关于通常矩阵加法与矩阵数乘构成的线性空间, 考察  的子空间

其中  为 3 阶单位矩阵,  表示  的迹, 证明: .

六. (14 分)

设  是复数域  上的 2 阶方阵, 记 . (1) 证明:  是  的子空间. (2) 讨论  的维数所有可能的值.

七. (15 分)

设  阶实对称矩阵 . (1) 求  的所有特征值与特征向量. (2) 求  阶正交矩阵 , 使得  为对角矩阵.

八. (12 分)

设  是数域  上的  维线性空间,  是  上的线性变换, 满足 . 证明: 存在  的一组基, 使得  在这组基下的矩阵为 , 其中 .

九. (14 分)

设  是实数域  上的  维线性空间,  是  上的线性变换. (1) 证明: 如果  是奇数, 则  有 1 维不变子空间. (2) 证明: 如果  没有 1 维不变子空间, 那么  必有 2 维不变子空间.

十. (15 分)

设  是复数域上的 6 阶方阵,  的最小多项式为 , 且 , 这里  表示  的迹. (1) 求  的特征多项式以及 Jordan 标准型. (2) 求  的伴随矩阵  的 Jordan 标准形.

十一. (12 分)

设  是  阶实矩阵, 证明:  是正定矩阵的充分必要条件是存在  阶正定矩阵 , 使得 .

苏州大学 2026 年数学分析真题

1. 解答如下问题:

(1) 计算极限 . (2) 设函数  求 .

2.

已知函数  在  上连续, 在  上可微, 且 , . (1) 证明: 存在 , 使得 . (2) 证明: 存在 , 使得 .

3.

证明: 在  上, 有 .

4. 解答如下问题:

(1) 设  连续, 证明: . (2) 设  连续, 证明: .

5. 解答如下问题:

(1) 判断函数列  在  上的一致收敛性. (2) 判断函数项级数  在  上的一致收敛性.

6. 解答如下问题:

(1) 求积分 . (2) 求积分 .

7. 解答如下问题:

(1) 求 , 其中  是  的上半部分, 方向从  到 . (2) 求由曲面  与抛物面  所围立体部分的表面积.

8.

设 , 其中 , 求  在条件  下的最小值.

9.

二元函数  在区域  上具有二阶连续偏导数, 且在边界  上 . 如果

(1) 证明: . (2) 若存在函数 , 使得  可以表示为 , 且在区域  内 , 求  的值.

苏州大学 2026 年高等代数真题

1.

设  为  阶实方阵, 且满足 , 定义子空间

证明: .

2.

设  是  维欧氏空间,  为  的一组基,  表示内积. 设向量组  由基向量组线性表示为

其中 , 定义 , 其中 . 证明:

3.

多项式 , 其中  为奇素数. (1) 证明:  在有理数域  上是不可约多项式. (2) 证明: 存在矩阵 , 使得  的充要条件是 .

4. 解答如下问题:

(1) 证明: 实反对称矩阵的特征值只能是 0 或纯虚数. (2) 设 , 子空间 , 求  的维数及一组基.

5.

设线性变换  在基  下的矩阵为

(1) 证明: 对于任意非零的 -不变子空间 , 必有 . (2) 求所有的 -不变子空间.

6. 解答如下问题:

(1) 设  满足 , 证明: 一定存在可逆矩阵 , 使得

(2)  为奇数, 如果存在矩阵 , 使得对于任意实数 , 均有

成立, 证明: .

7. 解答如下问题:

(1) 设  是  阶实对称矩阵,  是  的最大特征值, 证明: 对于任意非零向量 , 有

(2) 若  半正定, 其中  为方阵, 记  分别为矩阵  的最大特征值, 证明:

2026 年曲阜师范大学数学分析考研真题

一. 计算题.

1. 求极限 .
2. 求极限 .
3. 求级数  的和, 并给出收敛域.
4. 已知 ，计算二重积分 .
5. 求曲线积分 ，其中  是以  为顶点的正方形，方向取为逆时针方向.

二. 判断并严格给出证明过程.

1. 判断  的敛散性，其中 .
2. 问  在  上是否连续？又是否一致连续呢？
3. 设对任意向量 ，都有 ，问函数是否在点  处连续？

三. 证明题.

1. 函数项级数  在  上是否一致收敛？

北京工业大学 2026 年数学分析真题

1. 应用柯西准则证明  收敛并求极限.
2. 设  在  上具有连续三阶导数, 且 , 证明: 在  内至少存在一点 , 使 .
3. 叙述致密性定理并证明: 设  是  的两个非空闭集且  有界, 则存在 , 使得 .
4. 求幂级数  的收敛域和和函数.
5. 设  求  和 .
6. 证明  在  上一致收敛, 但  在  上非一致收敛.
7. 设抛物线  满足当  时, , 已知该抛物线与  轴及直线  所围图形的面积为 , 试确定  使该抛物线与直线  及  轴所围图形绕  轴旋转一周而成的旋转体的体积最小.
8. 利用三重积分计算椭球体  的体积.
9. 设一致连续的非负函数  满足 , 证明: .
10. 计算 , , 取外侧.

北京工业大学 2026 年高等代数真题

1. 计算  阶行列式

1. 设 4 阶方阵  的秩是 3,  是方程组  的三个不同的解, 且满足

(1) 证明: , 即  不是零向量. (2) 求方程组  的通解.

1. 设  是  阶矩阵 (), 满足 ,  是  阶矩阵. (1) 证明: . (2) 若  可逆, 则  可逆, 并求  的逆.

2. 解答如下问题: (1) 设  是  阶实对称矩阵, 且  是正定矩阵, 证明: 存在  阶可逆矩阵 , 使得  同时为对角矩阵. (2) 设二次型 , 写出该二次型的矩阵, 并用正交线性替换把该二次型化为标准型, 判断该二次型是否正定.

3. 设  是一个数域, 记  是由向量

生成的  的子空间, 即 , 记  是由向量

生成的  的子空间, 即 , 分别求  的维数和一组基.

1. 记  是复数域  上的全体  阶矩阵构成的线性空间, 定义  上的线性变换 , 对任意的 . (1) 求  在基  下的矩阵. (2) 求  的值域的维数和一组基以及  的核的维数和一组基.

2. 设  是实数域  上全体  () 阶实对称矩阵构成的线性空间, 对任意 , 定义 , 其中  表示  的迹. (1) 证明:  是欧氏空间. (2) . 证明:  是  的子空间, 并求  的维数. (3) 求  的正交补空间  的维数.

补充试卷

1. 解答如下问题: (1) 利用定义证明: . (2) 利用定积分定义证明: .

2. 求极限: (1) . (2) .

3. 设  讨论  在点  的连续性, 偏导数的存在性, 可微性.

4. 求幂级数  的收敛域以及和函数.

5. 设  在  上有连续的导数, 记 . (1) 若  为有界闭区间,  是否一致收敛? 给出理由. (2) 若  为有界开区间,  是否一致收敛? 给出理由.

6. 设  为连续函数, 求曲线积分

其中  为  指向  的直线.

1. 证明: , 并求 .

2. 求曲面积分

其中  是区域  的表面, 方向向外.

1. 解答如下问题: (1) 叙述有限覆盖定理以及一致连续的定义. (2) 利用有限覆盖定理证明连续函数在闭区间内一致连续.-------

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