拆解2026年1月江苏省盐城市、南京市高三期末考第19题函数、导数与三角函数融合的综合题

哈喽各位同学～这道题是 2026 年 1 月江苏省盐城市、南京市高三期末第 20 题，属于函数、导数与三角函数融合的综合题 —— 高三期末函数导数类压轴题。它深度整合 “导数求切线方程、构造函数证明不等式、利用函数性质与放缩法证明数列型不等式” 三大核心考点，精准对标高考导数题 “导数工具 + 函数性态分析 + 不等式放缩” 的命题逻辑，对 “导数运算精准度”“构造函数的思维能力”“放缩法与三角函数有界性的结合” 要求较高，是检验高三学生函数导数模块综合应用能力的典型试题！

据考后数据与教研分析：

(1)导数几何意义之切线方程求解（基础题）

核心：求导代点写切线

我们先求出函数的导函数，代入横坐标计算出切线斜率，再求出该点的函数值得到切点坐标，最后用点斜式写出切线方程并整理为一般式。

 (2)构造函数法证明不等式恒成立

核心：构造函数证最值

我们先将待证不等式整理为新函数大于等于零的形式，对新函数求导并分析其在区间内的符号，确定新函数的单调性，进而求出其在区间端点或极值点处的最值，若最值非负则不等式得证。

(3)函数零点性质与放缩法证明不等式

核心：放缩代换证不等式

我们先利用零点定义将方程转化为三角等式，再结合第二问的不等式结论进行放缩变形，通过三角恒等变换和指数函数的单调性化简不等式，最终得到要证明的结论。

• 第 (1) 问：导数几何意义之切线方程求解题型

  考查核心：导数的四则运算（指数函数、三角函数的复合求导）、导数的几何意义（切点处导数值即为切线斜率），重点考查 “导数运算精准度与几何意义的转化逻辑”（通过求导得到切线斜率，结合切点坐标利用点斜式确定切线方程）。

  常用方法：导数四则运算法（ex、sinx、cosx 的求导公式及乘积法则）、切点坐标求解法（代入x=0求函数值）、点斜式方程法（y−y0=k(x−x0)）。

• 第 (2) 问：构造函数法证明不等式恒成立题型

  考查核心：导函数的化简变形、构造新函数的思维能力、利用导数分析函数单调性与最值的逻辑，重点考查 “不等式恒成立与函数最值的转化逻辑”（将待证不等式变形后构造函数，通过求导确定函数最值，以最值符号证明不等式）。

  常用方法：构造差函数法（将不等式移项构造 h(x)=f(x)+g(x)−φ(x)）、导数符号分析法（分析新函数导函数的正负确定单调性）、函数最值定位法（利用单调性确定区间内最值）。

• 第 (3) 问：函数零点性质与放缩法证明不等式题型

  考查核心：函数零点的定义与性质、指数函数与三角函数的放缩技巧、导数结论的迁移应用能力，重点考查 “多模块融合下的不等式证明逻辑”（结合零点条件、前问结论与放缩法，完成含参数 n 的数列型不等式证明）。

  常用方法：零点定义转化法（将 f(xn)=1 转化为等量关系）、结论迁移法（利用第 (2) 问结论进行放缩）、三角与指数放缩法（结合三角函数有界性、指数函数单调性简化不等式）。

• 这类题属于 “指数函数、三角函数与导数的深度融合型压轴题”，这类题型的特点是：以 ex(sinx+cosx) 这一经典指数三角复合函数为载体，通过导数工具串联 “切线方程求解→区间不等式证明→零点相关数列型不等式证明” 三大核心考点，前两问的结论（切线方程、函数最值）与分析方法（构造函数、导数分析单调性）为第 (3) 问的放缩证明提供直接支撑，是高考中 “导数工具 + 函数性态分析 + 不等式放缩” 模块分层递进考查的典型题型。