三棱锥的外接球——以2026苏州、南京高三零模为例
2026年江苏各地高三零模中，多市的多选题都考了锥体外接球的有关内容。其中，苏州和南京盐城的两份模拟卷关于该点的考查有异曲同工之处：两题关于D的参考答案都是统一建系，暴力计算。追求通法无可厚非，但作为小题，多思考少计算是一种自然的想法，因此笔者给出如下思路（先以南京盐城模拟为例）：V最大时，即平面PCD⊥平面BCD时，此处不赘述（图像如下）：关于三棱锥的外接球，笔者想到的是有三条棱两两垂直的特殊锥体，即直角三棱锥。因为直角三棱锥，可以视作长方体的一部分，三条互相垂直的棱分别对应长方体的长宽高，长方体体对角线对应外接球的直径，也就是该三棱锥外接球的直径。简言之，任何不规则的三棱锥想寻找外接球，只要等价转化成直角三棱锥即可解决。问题来了，如何转化呢？想象上图中的三棱锥P-BCD有一个外接球，即∆BCD和∆PCD各有一个外接圆。CD是公共边，在各外接圆不变情况下，想转化成直角三棱锥，显然∆BCD和∆PCD需要等价转化成：以D为直角顶点的两个三角形∆B'CD和∆P'CD。示意图如下：由于同一条弦所对圆周角不变，根据题目条件，CD=√3，∠B'和∠P'分别是30°和60°，B'D=3，P'D=1。CD、B'D、P'D也就是直角三棱锥所在长方体的长宽高，体对角线为√13，即外接球直径。原题选项D正确。至于苏州零模的这题则更上一层，在笔者的思路上，利用正弦定理求一下外接圆半径的最值即可，不展开细说了。1. 一般三棱锥的外接球半径 → 直角三棱锥的外接球半径 → 长方体的体对角线的一半2. 外接球 → 外接圆 → 内接三角形 → 直角三角形（三棱锥的转化思路）（化曲为直，降维，从一般到特殊，数学思想方法的体现）局限性：所谓的“一般三棱锥”不是真的一般，在这两题中的共同点是三棱锥有两个面是相互垂直的。如果什么特点都没有，这个思路还是不易执行的，不过真是这样，建系也就更难了。
