赵亮 | 南京赫贤学校“制作尽可能大的无盖长方体盒子”数学探究课堂实录
- 2026-03-17 19:29:06
赵亮 | 南京赫贤学校“制作尽可能大的无盖长方体盒子”数学探究课堂实录
数学探究课该如何落地？南京赫贤学校赵亮老师以 “制作尽可能大的无盖长方体盒子” 为载体，用三课时打造了一堂充满认知冲突的深度探究课。从生活问题抽象为数学优化问题，从方案博弈到数据建模，从实操探究到成果思辨，学生在动手、争论、试错中亲历完整科学探究循环。这节课堂打破传统灌输式教学，让数学从公式变成可探索的思维旅程，更让学生在认知碰撞中建构建模思维、工程权衡意识与系统思考能力，为数学综合实践课提供了生动的实践范本。 
南京赫贤学校初中部数学组：赵亮 一、教学背景与设计理念在传统数学教学范式下，学生往往被置于被动接受的地位，其学习过程主要表现为对既定公式的记忆、对标准算法的模仿以及对封闭性问题的求解。这种教学模式虽能高效传递知识，却难以培养学生将真实世界复杂情境转化为可分析、可建模的数学问题的能力，亦难以引导他们经历从模糊感知到清晰定义、从直觉猜测到系统验证、从孤立操作到整体反思的完整认知历程。有鉴于此，本研究秉持“发现数学”的教学哲学，坚信数学不应是被灌输的结论，而是由学生在真实问题的驱动下，通过主动探究、试错、辩论和重构而“自己想出来”的思维产物。选择“制作尽可能大的无盖长方体盒子”作为教学课题，正是为了搭建一个理想的“发现”平台。 
该任务以其具象的物理操作性和内在的数学结构，为学生创造了“提出问题—分析问题—再次提出新的问题—设计方案—筛选方案—实施方案—数据收集—总结反思”的完整探究循环。教学设计的核心理念在于：将认知冲突视为“发现”过程的引擎，通过精心设计的学习情境，让学生在“做数学”和“说数学”中，亲自遭遇并解决概念、方法、数据和表达层面的矛盾，从而促使数学概念、原理和方法从他们自身的思维活动中自然生长出来，最终深刻理解数学不仅是工具，更是一种思考世界的方式。 二、教学过程实录与分析 （一）第一课时：问题提出与方案设计——概念澄清与价值权衡中的认知张力 课程在一个具象化的物质性挑战中拉开帷幕：教师向全班展示一张边长为21厘米的普通正方形卡纸，并提出核心任务——“如何将这张纸板制作成一个无盖的长方体盒子，并使其尽可能大？”任务的初始表述有意保持了某种开放性，“尽可能大”这一短语并未被即时赋予精确的数学定义，从而为认知冲突的萌发预留了空间。果不其然，学生的初步反应呈现出显著的多元化与直觉化倾向。一部分学生的注意力被“大”的视觉属性所吸引，他们倾向于制作高耸的筒状结构或拥有宽阔底面的扁平容器，并在小组交流中积极为自己的设计辩护，认为“高就显得大”或“底面积大才能放更多东西”。另一部分学生则表现出对材料利用率的敏感，他们更关注如何减少裁剪浪费，甚至提出完全不同的构造思路。少数学生陷入沉思，未能立即将生活语言“大”与数学概念“体积”建立明确联结。教师并未急于统一认识或直接给出体积公式，而是鼓励所有学生将自己的理解通过草图进行外化表达。一时间，黑板上呈现出形态各异的盒子剖面图，这些图纸成为了学生内在思维状态的可视化载体。这一可视化过程至关重要，它使得个体间隐性的认知差异转变为了群体内显性的观点对照，为后续的概念辨析提供了具体的讨论对象。 
（学生对问题的理解和提出的“新问题”） 当多样化的草图并置时，学生自发开始了比较与争论。此时，一位女生轻声提出了一个关键性质疑：“我们说的‘大’，是不是应该像杯子能装多少水一样，指的是它能容纳东西的空间大小？”这个基于功能类比的观点，如同一把钥匙，瞬间将讨论从“形态感知”领域转向了“度量比较”领域。教师敏锐地捕捉到这一思维转折点，顺势引导全班回顾长方体体积的计算公式，并明确将课程的核心问题重新表述为：在给定的正方形纸板和必须构成无盖长方体的条件下，如何确定长、宽、高的具体尺寸，使得三者的乘积达到最大值。至此，课堂完成了第一次重要的认知跃迁——将一个充满生活语感和手工趣味的任务，正式锚定为一个有明确数学目标的优化问题。然而，这仅仅是冲突序列的起点。 
（学生提出的方案B和方案C） 当数学目标确立后，实现路径的选择成为了新的矛盾焦点。学生很快提出了几种不同的实现方案。最主流且最直观的方案A是“剪去四角再折叠”，其逻辑简单，易于操作。但很快，有小组提出了更具雄心的方案B和方案C：通过更复杂的裁剪与拼接，试图实现纸板面积的“零浪费”，即所有裁剪下的部分都被重新利用以构成盒体的一部分。这一方案立即引发了热议。支持方案B和方案C的学生群体，其论点建立在一种近乎美学和道德的价值判断上：“浪费是可耻的”，“最大化利用材料才是完美的设计”。他们沉浸在创造一种“完美”解决方案的理想主义热情中。而支持方案A的学生，则从实用主义和效率角度出发，指出方案B和方案C的结构稳定性存疑、制作过程复杂耗时、对粘贴工艺要求极高，在实际课堂条件下很可能失败。双方各执一词，争论逐渐从技术讨论延伸至对“何为更好解决方案”的价值判断层面。 教师在此刻扮演的角色并非真理的仲裁者，而是探究流程的管理者。教师没有直接否定任何一方的热情，而是提议进行一次小规模的“快速原型验证”：各小组利用手边的废纸，在五分钟内分别尝试实现方案A、方案B和方案C的核心步骤。这个短暂的实践环节产生了戏剧性的效果。几乎所有尝试方案B和方案C的小组都遇到了实质性困难：剪下的部分难以精准粘贴；胶带无法提供足够的结构强度；最终成型的盒子歪斜松散，甚至无法自立。而采用方案A的小组则迅速完成了多个规整的盒子。实践结果以一种无声却极具说服力的方式，介入了先前的价值辩论。教室里先前激昂的辩论声渐渐平息，取而代之的是对现实约束的冷静审视。教师引导学生进行阶段性总结：在真实的工程与科学问题解决中，我们几乎总是在“理论上的最优”与“现实中的可行”之间进行权衡。理想的解决方案往往需要考虑成本、时间、技术门槛、可靠性等多重约束条件。基于课堂时间、工具条件和核心教学目标（聚焦于体积优化而非结构工程），全体学生通过民主协商，决定将方案A作为后续深入研究的“基准模型”，而将方案B和方案C及其代表的材料优化思想，作为一个有价值的“拓展课题”，留给有兴趣的学生在课后继续探索。这一决策过程本身，就是一堂生动的“决策科学”启蒙课，学生亲身体验了如何在多重目标与约束下达成集体行动共识。 
（学生动手操作测量中） （二）第二课时：数据收集与模型建立——经验归纳与理论分析间的认知博弈 随着基准方案的确立，探究进入了定量分析阶段。教师引导学生将操作性问题进一步抽象为代数问题：设从正方形纸板每个角剪去的小正方形边长为厘米，那么折叠后形成的无盖长方体的长和宽均为厘米，高则为厘米。由此，盒子体积可以表达为的代数式：，其中的取值范围受物理可实现性限制（显然）。这一数学建模步骤至关重要，它将学生的思维从具体的、一次性的手工制作，提升到了抽象的、可进行系统分析的一般规律层面。学生们看到，一个原本需要反复试错的操作问题，现在可以通过一个简洁的代数式来刻画和预测，这让他们初步感受到了数学模型的强大解释力与预测潜力。 各小组依据教师提供的结构化数据记录表，开始系统的实验。他们选取一系列离散的值（如1, 2, 3, 3.5, 4, 5, …），进行裁剪、折叠、测量尺寸（有时需用尺子反复确认因折叠不精确导致的微小变形），并计算相应的体积。课堂气氛专注而忙碌，充满了测量读数的报数声和计算器的按键声。之后，他们将所有小组的数据进行汇总，在坐标纸上绘制出随变化的散点图。尽管存在数据波动，但一个清晰的趋势依然跃然纸上：随着从1开始增大，体积先快速上升，到达一个顶点区域后，转而缓慢下降。学生们能轻易指出，最大值大概出现在到这个区间。当教师提问“那么，究竟哪个值对应的体积是绝对最大的呢？”时，学生们给出了“3.5左右”、“大概是3.6”、“我觉得是3.4”等基于直观的估算。这种基于有限离散数据的“区间估计”是合理的，但教师试图推动思维向更高精度迈进。教师提出了一个假设性的生产情境：“假如你是一家包装盒公司的技术员，公司需要根据你这个最优参数来设定激光切割机的程序，进行大批量生产。你会向工程师报告‘大约在3.5厘米左右切割’吗？”学生们笑着摇头，他们意识到，在工程应用场景中，“大概”是不够的，需要尽可能精确的参数以控制成本和质量。 
（学生动手操作测量中） 于是，“如何从‘大概’走向‘更精确’”成为了新的驱动性问题。教师适时介绍了“逐步逼近法”或称为“数值迭代法”的基本思想：在一个已知存在最大值的区间内，通过不断取中点并比较代数式值，可以像“挤牙膏”一样将最优解的范围一步步缩小。学生们被这个形象的比喻所吸引。他们在初步判定的峰值在3到4内，首先测试了中点，然后在其左右两侧分别选取了和进行制作和测量。比较这三组数据后，他们发现，但为了进一步确认，他们又在测试了和。通过这样两轮迭代，他们最终将体积最大时对应的值范围，从最初的3到4厘米之间，缩小到了3.5和3.55厘米之间。这个过程让学生们亲身体验了数学中一种强大的问题解决策略——通过系统性的、有限的步骤，无限逼近一个无法通过简单观察获得的精确解。他们获得的不仅是一个更精确的数字，更是一种处理“模糊最优”问题的思维方法。 
（学生数据计算与统计） （三）第三课时：成果表达与元认知反思——逻辑重构与意义赋予中的认知升华 第三课时以公开课的形式进行，核心任务是将前两课时的探究过程与发现，以小组汇报的形式进行系统化、结构化的呈现，并接受同伴与教师的质询。这标志着学习活动从“内隐的思维操作”转向“外显的言语表达”，另一层认知冲突由此浮现。 
（ 第一组小组海报一览） 第一组作为开场汇报者，显然将重点放在了“我们做了什么”和“我们发现了什么”上。他们直接切入主题，在大屏幕上展示了数据表格和手绘的散点图，并郑重宣布结论：“经过实验，我们发现当剪去的小正方形边长约为3.5厘米时，盒子的体积最大。”汇报过程简洁明了，但总时长不足五分钟。汇报结束后，教师并未立即点评，而是开放听众提问。立刻有学生举手发问：“请问你们为什么一开始就决定研究剪四角的方法？有没有考虑过其他方法？”另有学生问：“你们选取这些值来测试，是随便选的，还是有什么规律？”面对这些涉及探究缘起和设计逻辑的问题，第一组的成员们显得有些措手不及，他们相互看了看，回答变得支支吾吾：“嗯……因为老师让我们做这个……”“选这些值就是觉得比较有代表性……”这一幕清晰地暴露了学生思维中普遍存在的一种割裂：他们将“探究过程”等同于“操作与计算过程”，而将“问题界定”、“方案论证”、“实验设计原理”等前期重要的思维环节，视为不言自明或无需赘述的背景。他们的汇报呈现了一个“没有开头的故事”。 
教师果断暂停了既定流程。他没有批评第一组，而是将这个问题抛给全班：“大家觉得，一个完整的研究报告，应该从哪儿开始讲起？应该包含哪些部分，才能让一个完全没参与我们前两节课的人，也能听懂我们为什么做、怎么做以及做出了什么？”一场关于“科学表达结构”的集体建构开始了。学生们你一言我一语，在教师的引导下，逐渐拼凑出一个清晰的叙述框架：1. 问题背景与提出：我们遇到了什么现实挑战或有趣现象？2. 目标界定：我们要解决的核心数学问题是什么？（体积最大化）3. 方案探索与选择：我们想到了哪些可能的方法？为什么最终选择了目前这个方案？（基于可行性权衡）4. 研究设计与模型建立：我们如何将问题转化为可以系统研究的形式？（引入变量x，建立代数式）5. 数据收集过程：我们具体是如何进行实验的？遇到了什么困难？（制作、测量）6. 数据分析与发现：数据呈现出什么规律？我们如何分析并得出结论？（图表、趋势、逐步逼近）7. 结论与反思：最终的结论是什么？我们对这个过程和结果有什么思考？（最优解范围、误差认识、模型感想）。当这个框架被共同梳理出来并板书在侧时，学生们恍然大悟。他们意识到，汇报不仅仅是展示结果，更是重现一个完整的、有因果逻辑的思维旅程。后续小组的汇报质量显著提升，他们开始有意识地按照这个“叙事弧”来组织语言，主动解释每一个决策背后的理由，坦承实验中遇到的意外情况。表达的结构性，在此刻成为了思维结构性的外在镜象。 
（第三组小组海报一览） 汇报中，第三组的表现尤为突出。他们在完成了对基准方案（剪四角法）的深入研究后，还主动利用课余时间重新探索了第一课时被搁置的“零浪费”拼接方案（方案B和方案C）。他们展示了根据新想法制作的两个实物模型，并坦诚地分析了其优缺点：虽然材料利用率接近100%，结构也通过改进粘贴方式得以稳固，但制作复杂度极高，耗时是基准方案的数倍，并无显著优势。这一展示引发了课堂最深入的一次思辨。有学生提问：“既然拼接困难，还更费时间，那这个方案的意义在哪里？它算是一个‘更好’的解决方案吗？”问题直指评价体系的核心。一场自发的小型辩论随之展开。一方坚持“节省时间是唯一目标”，因此方案B和方案C在此标准下是失败的。另一方则认为，“评价一个方案不能只看一个指标”，材料节约、结构创新性、对想象力的激发等都是有价值的维度，在资源紧张或追求独特性的情境下，方案B和方案C可能更具吸引力。教师总结道，这正是现实世界中优化问题的复杂性所在。数学可以帮助我们清晰地定义目标代数式（如最大化体积），也可以帮助我们在多个冲突目标间进行量化权衡（如通过给“节省材料”赋予一个“权重”来建立综合评价代数式）。本课程将“体积最大”设为核心目标，是一种教学上的聚焦，但绝不意味着这是唯一的思考维度。学生们通过这场辩论，跳出了对“标准答案”的简单追寻，开始学习以多维度、条件化的视角来审视问题与解决方案，这是批判性思维和系统思维的重要萌芽。 
（学生海报展示与汇报中） 课程接近尾声时，教师提出了一个看似简单却直指元认知层面的问题：“通过这三节课，你最大的收获是什么？”绝大多数学生的回答依然集中在内容性知识上：“我知道了怎么用一张纸做最大盒子”、“我记住了x大约是3.5的时候体积最大”、“我学会了那个体积公式的用法”。只有极少数学生提到了过程性收获：“我觉得设计实验挺有意思”、“我知道了实验的方案是多种多样的”。这表明，尽管学生亲历了丰富的探究过程，但他们的反思仍自然停留在最表层、最具体的成果上，对于自身思维方式的变化、对于所运用的科学方法的觉知，仍处于潜意识层面。 课后我进行了深入思考。虽然探究活动本身是成功的，但评价环节却存在明显的缺失——它未能有效引导学生将内隐的思维过程显性化，从而错失了将具体经验固化为可迁移能力的关键契机。我意识到，如果当时我能设计并分发一份“数学探究过程表”，引导学生从问题明确、方案决策、数据收集的严谨性、数据分析方法、结论得出逻辑以及合作沟通角色等维度，系统回顾和审视自己的学习行为与思维轨迹，那么学生的反思将不再仅仅停留在“我知道了什么”，而能深入到“我是如何知道的”以及“我怎样才能做得更好”。这份量表将如同一面思维的镜子，让学生在安静的自省中，看到自己如何像侦探一样提出假设、验证数据、寻找规律；如何从急于下结论的教训中学会审视数据的可靠性；如何在小组协作中学习整合意见、化解分歧。这种结构化的元认知引导，能将零散的体验整合为清晰的学习策略，使评价体系真正覆盖过程与方法、情感与协作，从而完整地支撑起探究式学习的目标。未能及时提供这一支架，是我本次教学中的一个遗憾，也指明了未来改进的方向。 三、教学成效与深层反思 （一）在完整探究循环中实现“发现数学” 本课例最显著的特征，是严格遵循了“提出问题—分析问题—再次提出新的问题—设计方案—筛选方案—实施方案—数据收集—总结反思”这一完整的科学探究流程，并将“发现数学”的理念贯穿始终。在这个流程中，每一个环节的推进都源于学生自身的认知冲突和探究需求。问题由学生在情境中自然萌发；分析工具（如体积公式、变量思想）在解决问题的迫切需求中被“重新发现”；新的问题在初步结论的局限性中不断生成；方案在可行性验证中被筛选；数据在亲手操作中收集，其误差在困惑中被直面和分析；更精细的方法（如逐步逼近）在追求精确的需求中被引入；最终的表达与反思，则是对整个思维历程的再现与升华。数学不再是静态的知识库，而是动态的、被学生亲自“走过”的发现之路。这条路上的每一个概念、每一个方法，都因其解决了学生当下真实的认知困境而充满了意义，从而被深度理解和内化。 （二）认知冲突：驱动“发现”过程的核心引擎 “发现”不会发生在风平浪静之中，它必然源于已知与未知、理想与现实、不同观点之间的碰撞。本课例将认知冲突的设计与利用提升到了核心策略的高度。概念冲突（视觉的“大”和数学的“体积”）驱动了问题的数学化；方案冲突（理想化的零浪费和现实可行的剪角法）驱动了工程思维与决策能力的培养；精度冲突（大致估计和精确逼近）驱动了对高级思维策略的学习与应用；表达冲突（只讲结果和呈现全程）驱动了逻辑思维与元认知能力的发展。每一次冲突的爆发，都标志着学生认知图式的“失衡”，而冲突的解决过程，就是学生主动调动资源、建构新理解以实现“再平衡”的“发现”时刻。教师的作用，在于敏锐识别这些冲突点，并将其转化为可供全班深入挖掘的“学习脉冲”。 （三）教师角色：从讲授者到“发现之旅”的架构师与向导 在“发现数学”的课堂中，教师的角色发生了根本性转变。教师不再是知识的授予者，而是学生“发现之旅”的架构师和高阶思维向导。作为架构师，教师设计了一个蕴含丰富数学可能性的真实任务，并搭建了“完整探究循环”的隐性框架，确保学生的自主活动始终沿着富有成效的方向展开。作为向导，教师在旅程的关键节点提供支持：当学生迷茫于如何前进时，教师通过提问启发新的思考方向（如“如何更精确？”）；当学生陷入局部争论时，教师引导他们看到更本质的问题（如误差的来源）；当学生获得阶段性发现时，教师帮助其进行结构化总结和意义提升（如共同建构汇报框架）；当学生需要新工具时，教师适时引入（如逐步逼近法），但总是将其呈现为应对当前挑战的“可能钥匙”，而非必须遵循的指令。这种角色要求教师对学科知识、学生认知规律以及探究式教学法有着深度融合的理解与掌控。 四、延伸讨论与未来教学启示 本次以“发现数学”和“完整探究循环”为核心的教学实践，成功地将一个传统课题转化为培养学生科学素养和创新思维的深度学习经历，其经验与模式具有可迁移的启示价值。 首先，它证明了将完整的科学探究流程显性化、结构化地融入数学课堂的可行性与巨大价值。这不仅适用于“综合与实践”领域，亦可改造传统的概念课、原理课。其次，“发现”需要时间与空间。本课例用了三个课时，才让学生从容地走完一个完整的探究循环。这启示我们，教学改革需要给予深度学习以时间保障，敢于对教学内容进行“少而精”的整合与重构，追求思维的深度而非知识的广度。再者，“发现”的路径可以个性化。虽然本课例设定了基准方案（剪角法），但也为方案B和方案C等延伸探索预留了空间。未来设计可更加开放，允许不同小组选择不同的初始假设或探究路径，最后在班级层面进行交流比较。这能更好地培养学生的问题提出能力和创新意识，让“发现”的过程更加多元。 最后，评价必须与“发现”的过程同步。传统的纸笔测试难以评价学生在探究过程中的表现。需要开发与之匹配的过程性评价工具，如本课例中使用的自我评估量表、探究日志、小组讨论观察记录、阶段性成果展示评价等。通过这些工具，将学生的探究能力、合作精神、批判性思维等核心素养的发展情况纳入评价体系，真正实现“教学-评”的一致。 “制作尽可能大的无盖长方体盒子”这一课题，就像一颗贝壳，而本次教学实践引导学生打开的，却是数学海洋的壮阔景象。它告诉我们，数学教育的真谛，不在于让学生记住多少贝壳，而在于教会他们如何像数学家一样思考，如何怀揣好奇，亲身参与从提出问题到最终理解的完整、激动人心的发现之旅。当学生能够自豪地说“这个数学是我自己想出来的”时，教育便达成了最深刻的目标。
保障每一个人的高品质学习权
编者引：
（研究过程梳理）
（第二组小组海报一览）
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