南京林业大学 2023-2024 高等数学下期末试卷（A卷）
一、选择题：（每小题3分，共30分）
1、 设 , 是两个向量，则下列式子必定正确的是（ ）。
(A)
(B)
(C)
(D)
2、 方程 所表示的曲面是（ ）。
(A) 椭圆抛物面
(B) 双曲抛物面
(C) 圆锥面
(D) 椭球面
3、 极限 （ ）。
(A) 等于1 (B) 等于0 (C) 等于2 (D) 不存在
4、 函数 在点 处的全微分 （ ）。
(A) (B)
(C) (D)
5、 若函数 在驻点 的某个邻域内有连续二阶偏导数，且满足 , ，则 （ ）。
(A) 必不是 的极值点
(B) 必是 的极值点
(C) 必是 的极小值点
(D) 必是 的极大值点
6、 设 是由柱面 及平面 所围成的立体区域，则 （ ）。
(A) (B) (C) (D)
7、 设曲面 是上半球面：，曲面 是曲面 在第一卦限中的部分，则下列正确的是（ ）。
(A)
(B)
(C)
(D)
8、 下列级数中，是条件收敛的是（ ）。
(A)
(B)
(C)
(D)
9、 设 是周期为 的周期函数，它在 上的表达式为，则 的傅里叶级数在 处收敛于（ ）。
(A) 0 (B) 1 (C) 1.5 (D) 2
10、 微分方程 的特解形式可设为（ ）。
(A)
(B)
(C)
(D)
二、填空题：（每小题 4 分，共 20 分）
1. 过直线 与平面 的交点，且与直线 垂直的平面 方程为________。
2.，其中 具有连续二阶偏导数，则 ________。
3. ________。
4. 设 为椭圆 ，其周长为 ，则 ________。
5. 级数 ________。
三、计算题：（每小题 8 分，共 40 分）
1. 设函数 由方程 所确定（其中 具有连续偏导数），求 。
2. 已知函数 ，设 为曲面 在点 处的切平面， 为 与坐标平面所围成的有界区域在 面上的投影。
(1) 求 的方程；
(2) 求 在 上的最大值和最小值。
3. 设在 面上曲线积分 与路径无关，
(1) 求常数 ；
(2) 求 。
4. 设空间有界区域 由柱面 与平面 和平面 围成， 是 边界的外侧，计算曲面积分:
。
5. 将 展开成 的幂级数；对于任意 ，判别不等式 是否成立。
四、应用题：（本题 10 分）
设函数 具有连续导数， 满足
。
若 ，求 的表达式。
参考解答
一、选择题
1、 ，选 B。
2、 是椭圆抛物面，选 A。
3、 取 ，极限为 ，随 变化，故极限不存在，选 D。
4、在 处，，所以选 C。
5、 驻点处 ，且 ，则故不是极值点，选 A。
6、 区域为圆柱体，体积 ，所以选 D。
7、 上半球面关于坐标面对称，只有 正确，选 C。
8、 满足莱布尼茨条件，但绝对值级数 发散，故条件收敛，选 B。
9、 在 处为间断点，傅里叶级数收敛于选 D。
10、 非齐次项为一次多项式，且 不是特征根，故特解可设为选 A。
二、填空题
1.直线 的参数方程为代入平面 得：所以交点为 。与直线 垂直的平面，其法向量取 的方向向量 ，故平面方程为：
即
2.设 ，则 。
再对 求偏导：
因此
3.交换积分次序。区域为 ，
即
所以
4.椭圆方程：两边同乘 ，得：
因此
5.级数拆项：
其中
所以总和为
三、计算题
1. 解：令
对 求偏导（ 固定）：
所以
对 求偏导（ 固定）：
所以
因此
2. 解（1）：
在点 处：
切平面方程为
即
（2） 与坐标平面围成的区域在第一卦限，故
内部驻点：
两式相减：
代入得
驻点为 ，
边界讨论：
边界 ，即 ：顶点 处取最小值 ，端点处取最大值 。
比较所有可能最值：
所以最大值为 ，最小值为 。
3. 解（1）：设
积分与路径无关的条件为
而
所以
（2）当 时，
存在原函数 ，使得
由
又
取
则
4. 解：令
由高斯公式：
计算：
区域 为
其中 和 关于 均为奇函数，区域关于 对称，故积分为 。
于是
又
所以
用极坐标：，
展开：
第一项为 ，第二项为 ，第三项为
因此
5. 解：因为
所以
奇数项抵消，偶数项相加：
即
或
于是
其中 项为 ， 项为 ，所以
因此对任意 ，都有当且仅当 时等号成立。
四、应用题
解：设
计算偏导数：
代入方程左边：
右边为
于是有
约去 ，得
下面解一阶线性微分方程：
齐次通解：。
设特解 ，代入：
比较系数得
所以
由 ：
因此
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