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【南京市一等奖初中数学获奖教育教学论文】:从“将军饮马”到“施瓦尔兹三角形”——解密一道填空压轴题的“前世今生”

2026-06-21 16:29:24

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从“将军饮马”到“施瓦尔兹三角形”

——解密一道填空压轴题的“前世今生”

近日，笔者在校级考试阅卷过程中发现一道填空压轴题的得分率极低。该题考查学生通过轴对称解决线段最值问题，属于一类比较经典的几何模型。然而，对于这道几何填空压轴题，多数同学感觉无从下手。后来与一些同学作了交流，了解到学生的主要困难有两个方面：一是无法将轴对称条件与MN联系起来，二是不知道如何将MN的最值问题转化为AP的最值问题解决。为此，笔者进行了深入反思，通过抽丝剥茧，提炼基本图形和模型，进而追本溯源，解密它的题源并进行变式拓展，旨在归纳掌握这一类题型的通法通解。

一、试题呈现

如图1，在△ABC中，∠A = 45∘∠B=60∘, AB = 4, P是BC边上的动点（点P不与端点B, C重合），点P关于直线AB, BC的对称点分别为M, N，则线段MN长的取值范围是——。

二、试题分析

本题是以轴对称为背景的图形变换问题，在素养立意的命题导向下，融合了垂线段最短、特殊角与特殊三角形的性质、勾股定理等知识，考查学生的几何推理和代数推理能力，培养学生用数学的眼光和思维观察并思考问题。

近年来，以轴对称为背景的线段最短问题一直是中考的热点，而“将军饮马”模型是解决此类问题的基本模型。因此，我们可以借“题”发挥，从“一题多解”到“一题多变”，再到“多题归一”“多解归一”，探寻本题的“前世今生”，让学生回归数学本质，并促进其思维有序生长。

三、试题溯源

1.教材原题溯源

本题源自浙教版《数学》八年级上册“图形的轴对称”中的例2：

如图2,直线l表示草原上的一条河流.一骑马少年从A地出发，去河边让马饮水，然后返回位于B地的家中.他沿怎样的路线行走，能使路程最短？作出这条最短路线

分析如图2，设P是直线上任意一点，连结AP, BP.以直线l为对称轴，作与线段AP成轴对称的线段A′P.显然，当点A′, P, B同在一直线上时，A′P + BP最短，即路程最短.

2.教材例题延伸

延伸1如图3，在∠MON的内部有一点P, A为OM上一动点，B为ON上一动点，怎样使得△PAB的周长最小？

解析如图3，分别作点P关于OM,ON的对称点P′, P′′,连结P′P′′,则当P′, A, B, P′′四点共线时,△PAB的周长最小,且最小值为P′P′′的长.

评注解决本题的关键是通过轴对称，将求周长最小问题归结为求线段最短问题

延伸2如图4,M为AC上一定点，点P是AB上的一动点，点Q是AC上的一个动点，怎样使得PM + PQ的值最小？

解析如图4，作点M关于AB的对称点M′，连结PM′，过点M′作M′Q′⊥AC于点Q′则PM + PQ = PM′ + PQ ≥ M′Q′，当且仅当点P, Q在垂线M′Q′上等号成立，所以M′Q′的长即为PM + PQ的最小值.

评注本题和上一题同属于一个定点两个动点求线段最值问题，稍有不同的是上一题的定点在角内部，而本题所给的定点在角的边上。实际上这仍是“将军饮马”模型的运用和拓展。

延伸3如图5，点M, N分别是边OA, OB上的定点，点P, Q分别是边OB, OA上的动点，怎样使得MP + PQ + QN的值最小？

解析如图5，作点M关于OB的对称点M′，作点N关于OA的对称点N′，连结M′N′，则当M′, N′, P, Q四点共线时，M′N′是MP + PQ+QN的最小值.

评注本题在上一题的基础上进行了改编，由一个定点增加到两个定点，进而求线段MP + PQ + QN的最小值.

延伸4如图6,M, N是∠AOB内部的两定点，在OA上找点P，在OB上找点Q，使得MP + PQ + QN的值最小.

解析如图6,分别作点M, N关于OA, OB的对称点M′, N′，连结M′N′，则当点P, Q在连线M′N′上时，M′N′是MP + PQ + QN的最小值评注本题亦属两定两动问题，与上一题的区别在于，本题的两个定点在角的内部反思“将军饮马”模型是浙教版教材中的典型模型，通过对教材例题的分析和延伸可以加深学生对轴对称等知识的理解，提升学生的思维水平，促进学生核心素养的发展。因此在日常教学中，教师应加强对教材例题的研究与拓展，深挖教材例题或习题中隐含的数学模型和数学思想方法，总结其中的重要结论，让学生能够“学一题，通一片”。