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• 北京工业大学 2026 年数学分析真题
• 北京工业大学 2026 年高等代数真题
• 2026年南京理工大学数学分析考研试题
• 2026年南京理工大学高等代数考研试题
• 新疆大学 2023~2024 学年度高等数学第一学期
• 2026年湖南师范大学数学分析考研试题
• 2026年湖南师范大学高等代数考研试题
• 2023年四川师范大学数学分析考研试题第九题

北京工业大学 2026 年数学分析真题

1. 应用柯西准则证明  收敛并求极限.
2. 设  在  上具有连续三阶导数, 且 , 证明: 在  内至少存在一点 , 使 .
3. 叙述致密性定理并证明: 设  是  的两个非空闭集且  有界, 则存在 , 使得

1. 求幂级数  的收敛域和和函数.
2. 设

求  和 . 6. 证明  在  上一致收敛, 但  在  上非一致收敛. 7. 设抛物线  满足当  时, , 已知该抛物线与  轴及直线  所围图形的面积为 , 试确定  使该抛物线与直线  及  轴所围图形绕  轴旋转一周而成的旋转体的体积最小. 8. 利用三重积分计算椭球体  的体积. 9. 设一致连续的非负函数  满足 , 证明: . 10. 计算

, 取外侧.

北京工业大学 2026 年高等代数真题

1. 计算  阶行列式

1. 设 4 阶方阵  的秩是 3,  是方程组  的三个不同的解, 且满足

(1) 证明: , 即  不是零向量. (2) 求方程组  的通解.

1. 设  是  阶矩阵 (), 满足 ,  是  阶矩阵. (1) 证明: . (2) 若  可逆, 则  可逆, 并求  的逆.

2. 解答如下问题: (1) 设  是  阶实对称矩阵, 且  是正定矩阵, 证明: 存在  阶可逆矩阵 , 使得  同时为对角矩阵. (2) 设二次型 , 写出该二次型的矩阵, 并用正交线性替换把该二次型化为标准型, 判断该二次型是否正定.

3. 设  是一个数域, 记  是由向量

生成的  的子空间, 即 , 记  是由向量

生成的  的子空间, 即 , 分别求  的维数和一组基.

1. 记  是复数域  上的全体  阶矩阵构成的线性空间, 定义  上的线性变换 , 对任意的 . (1) 求  在基  下的矩阵. (2) 求  的值域的维数和一组基以及  的核的维数和一组基.

2. 设  是实数域  上全体  () 阶实对称矩阵构成的线性空间, 对任意 , 定义 , 其中  表示  的迹. (1) 证明:  是欧氏空间. (2) . 证明:  是  的子空间, 并求  的维数. (3) 求  的正交补空间  的维数.

补充试卷

1. 解答如下问题: (1) 利用定义证明: . (2) 利用定积分定义证明: .

2. 求极限: (1) . (2) .

3. 设

讨论  在点  的连续性, 偏导数的存在性, 可微性.

1. 求幂级数  的收敛域以及和函数.

2. 设  在  上有连续的导数, 记 . (1) 若  为有界闭区间,  是否一致收敛? 给出理由. (2) 若  为有界开区间,  是否一致收敛? 给出理由.

3. 设  为连续函数, 求曲线积分

其中  为  指向  的直线.

1. 证明: , 并求 .

2. 求曲面积分

其中  是区域  的表面, 方向向外.

1. 解答如下问题: (1) 叙述有限覆盖定理以及一致连续的定义. (2) 利用有限覆盖定理证明连续函数在闭区间内一致连续.

补充高等代数试卷

(注: 题目来自考生回忆, 部分表述或数据可能有误)

一. 填空题

1. 多项式 , 则  ______.
2. 未知.
3. 三条直线  满足 , 记 , 则三条直线相交于一点的充要条件是______. A.  线性无关. B.  线性相关,  线性无关. C.  线性相关. D.  线性相关, 且任意两个都线性无关.
4.  为 3 阶可逆矩阵, , 求  ______.
5. 未知.
6. , 满足  的最小正整数  为______.
7.  的解空间为 ,  的解空间为 , 求  的维数______.
8.  为二次型, 其中 

二.

. 问  是否存在公共的有理根? 若有, 求出所有的 , 若没有, 给出理由.

三. 计算行列式

四.

 阶矩阵  满足 , 证明: .

五.

设  为  阶实可逆矩阵, 证明:  可以化成一个正定矩阵与一个正交矩阵的乘积.

六.

设 . 记 . (1) 证明  为线性空间. (2) 证明  为  的一组基, 并求其对偶基.

七.

三阶实对称矩阵  的秩为 2, 3 是  的特征值,  为特征值 3 的特征向量. (1) 求解  的特征子空间. (2) 求 .

八.

 是  阶矩阵,  不是  的特征值. (1) 求证:  是可逆矩阵. (2) 证明: 存在次数小于等于  的多项式 , 满足 .

新疆大学 2023~2024 学年度第一学期

《高等数学》期末试卷

课程代码: __________ 试卷编号: __________ 考试日期: __________年______月______日 答题时限: 120 分钟 考试形式: 闭卷笔试

一. 选择题（每题2分，共10分）

1. 当  时，以下各式为无穷小量的是（ ） A.  B.  C.  D. 
2. 函数

在  处连续，则 （ ） A. 0 B.  C. 1 D. 2 3. 曲线  的平行于直线  的切线方程为（ ） A.  B.  C.  D. 4. 设函数 ，则函数在点  处（ ） A. 连续且可导 B. 连续且可微 C. 连续不可导 D. 不连续不可微 5.  的结果是（ ） A.  B. C.  D. 

二. 填空题（每题2分，共10分）

1. 极限  __________.
2. 若  是可导函数，且 ，则  __________.
3. 曲线  的拐点是 __________.
4. 定积分  __________.
5. 不定积分  __________.

三. 计算题（每题8分，共40分）

1. 求曲线

在  处相应点的切线方程。 2. 设函数  由方程  确定，求  及 . 3. 求函数  的单调区间与极值及图形的凹凸区间与拐点。 4. 设函数  由方程  决定，求 。 5. 设 ，求 。

四. 应用题（每题10分，共40分）

1. 计算半立方抛物线  被抛物线  截得的一段弧的长度。
2. 在区间  给定函数 ，问当  取何值时， 与直线 ， 轴所围成的面积  与 ， 及直线  所围图形的面积  之和最小？
3. 计算三重积分 ，其中  是由曲面  与平面  所围成的闭区域。
4. 计算曲面积分 ，其中  是旋转抛物面  介于平面  及  之间的部分的下侧。

湖南师范大学 2026 年数学分析试卷

一. 填空题

1. 极限  ______.
2. 极限  ______.
3. 设 ，则  ______.
4. 设  在  上连续,  存在, 且

则  ______. 5. 曲面  上垂直于直线  的切平面方程为 ______. 6. 设  二次可微, 且 , 若 , 且曲线  与直线  交于点  (), 则对任意的 ,  ______. 7. 设 , 广义积分  条件收敛, 则实数  满足的条件是 ______. 8. 级数  ______. 9. 设曲线 , 取逆时针方向, 则  ______. 10. 计算曲面积分

其中 , 取上侧, 则  ______.

二. 计算题

1. 设  在  上有一阶连续导数, 定义 , 求 .
2. 设  在闭区域  上有二阶连续偏导数, 且

求 . 3. 设函数  (), 求  的值.

三. 证明题

1. 设函数  在  上连续, 在  内可导, 且 , 证明: 存在 , 使得

1. 用有限覆盖定理证明: 闭区间  上的连续函数  一定在  上一致连续.
2. 设函数  在  上连续, 且有相同的单调性, 证明:

1. 设  定义在  上, 且  存在, 证明:  绝对收敛当且仅当 .

湖南师范大学 2026 年高等代数试卷

一. 简答题. 每题5分, 共30分.

1. 两个  阶正定矩阵的和是否正定？为什么？
2. 若多项式  与  互素, 那么  与  是否互素？为什么？
3. 若3阶非零方阵的所有二阶余子式均等于0, 那么其秩是多少？为什么？
4. 正交矩阵的复特征值一定是  或  吗？为什么？
5. 若  有2重根 , 那么  是多项式  的3重根吗？为什么？

二. 计算题. 每题15分, 共60分.

1. 计算如下  阶行列式的值

1. 记与矩阵  乘法可交换的所有实矩阵构成的集合为 , 证明:  是矩阵空间  的线性子空间, 并计算出一个基底.
2. 设  是实线性空间,  是  的一组基, 且  上线性变换  满足

计算  在基  下的坐标. 9. 设  为正整数, 且有理数域上二次型

有三个不小于  的整数特征值, 确定  的取值并计算此二次型在有理数域上的标准形.

三. 证明题. 每题15分, 共60分.

1. 证明: 多项式  在有理数域上不可约.
2. 设 ,  是  维线性空间  上的线性变换, 且向量  满足 , . (1) 证明: 向量组  线性无关. (2) 证明:  不可以对角化.
3. 设  为2026阶非零实矩阵, 且  的伴随矩阵与其转置矩阵相等, 证明:  是行列式为1的正交矩阵.
4. 设实方阵  满足 , 证明:  的迹等于0.

2023年四川师范大学数学分析考研试题第九题

题目：计算曲线积分

其中为球面

与

的交线，方向是围成的球面较小部分曲面保持左边方向。

三、（15分）求与的距离的最小值。

四、（15分）设为单位圆，,, 证明

只依赖于并求值。